Algebra Beispiele

$m (s) = - 5 (s - 4) (s - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1

Vereinfache das Polynom, dann ordne es von links nach rechts neu an, beginnend mit dem Term höchsten Grades.

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Schritt 1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m (s) = (- 5 s - 5 \cdot - 4) (s - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$m (s) = (- 5 s + 20) (s - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(- 5 s + 20) (s - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$m (s) = (- 5 s (s - 2) + 20 (s - 2)) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m (s) = (- 5 s \cdot s - 5 s \cdot - 2 + 20 (s - 2)) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$m (s) = (- 5 s \cdot s - 5 s \cdot - 2 + 20 s + 20 \cdot - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Bewege $s$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s) - 5 s \cdot - 2 + 20 s + 20 \cdot - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.3.1.1.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{2} - 5 s \cdot - 2 + 20 s + 20 \cdot - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$m (s) = (- 5 s^{2} + 10 s + 20 s + 20 \cdot - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 2$ .

$m (s) = (- 5 s^{2} + 10 s + 20 s - 40) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.3.2

Addiere $10 s$ und $20 s$ .

$m (s) = (- 5 s^{2} + 30 s - 40) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.4

Multipliziere $(- 5 s^{2} + 30 s - 40) (s + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$m (s) = (- 5 s^{2} s - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Multipliziere $s^{2}$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.1.1

Bewege $s$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s^{2}) - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.1.1.2

Mutltipliziere $s$ mit $s^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1.2.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s^{2}) - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m (s) = (- 5 s^{1 + 2} - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.1.3

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.3.1

Bewege $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 (s \cdot s) + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.1.3.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 s^{2} + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 s^{2} + 30 s - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 40$ mit $1$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 s^{2} + 30 s - 40 s - 40) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.5.2.1

Addiere $- 5 s^{2}$ und $30 s^{2}$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} + 25 s^{2} + 30 s - 40 s - 40) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.5.2.2

Subtrahiere $40 s$ von $30 s$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} + 25 s^{2} - 10 s - 40) (s + 3) (s + 5)$

Schritt 1.6

Multipliziere $(- 5 s^{3} + 25 s^{2} - 10 s - 40) (s + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$m (s) = (- 5 s^{3} s - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Multipliziere $s^{3}$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1.1.1

Bewege $s$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s^{3}) - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.1.2

Mutltipliziere $s$ mit $s^{3}$ .

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Schritt 1.7.1.1.2.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s^{3}) - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m (s) = (- 5 s^{1 + 3} - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.3

Multipliziere $s^{2}$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1.3.1

Bewege $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 (s \cdot s^{2}) + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.3.2

Mutltipliziere $s$ mit $s^{2}$ .

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Schritt 1.7.1.3.2.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 (s \cdot s^{2}) + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{1 + 2} + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.5

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1.5.1

Bewege $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 (s \cdot s) - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.5.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s^{2} - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 10$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s^{2} - 30 s - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Schritt 1.7.1.7

Mutltipliziere $- 40$ mit $3$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s^{2} - 30 s - 40 s - 120) (s + 5)$

Schritt 1.7.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.7.2.1

Addiere $- 15 s^{3}$ und $25 s^{3}$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} + 10 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s^{2} - 30 s - 40 s - 120) (s + 5)$

Schritt 1.7.2.2

Subtrahiere $10 s^{2}$ von $75 s^{2}$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} + 10 s^{3} + 65 s^{2} - 30 s - 40 s - 120) (s + 5)$

Schritt 1.7.2.3

Subtrahiere $40 s$ von $- 30 s$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} + 10 s^{3} + 65 s^{2} - 70 s - 120) (s + 5)$

Schritt 1.8

Multipliziere $(- 5 s^{4} + 10 s^{3} + 65 s^{2} - 70 s - 120) (s + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$m (s) = - 5 s^{4} s - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Multipliziere $s^{4}$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.1.1.1

Bewege $s$ .

$m (s) = - 5 (s \cdot s^{4}) - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.1.2

Mutltipliziere $s$ mit $s^{4}$ .

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Schritt 1.9.1.1.2.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$m (s) = - 5 (s \cdot s^{4}) - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m (s) = - 5 s^{1 + 4} - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.3

Multipliziere $s^{3}$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.1.3.1

Bewege $s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 (s \cdot s^{3}) + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.3.2

Mutltipliziere $s$ mit $s^{3}$ .

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Schritt 1.9.1.3.2.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 (s \cdot s^{3}) + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{1 + 3} + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.5

Multipliziere $s^{2}$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.1.5.1

Bewege $s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 (s \cdot s^{2}) + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.5.2

Mutltipliziere $s$ mit $s^{2}$ .

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Schritt 1.9.1.5.2.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 (s \cdot s^{2}) + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{1 + 2} + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $65$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.7

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.1.7.1

Bewege $s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 (s \cdot s) - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.7.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 70$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 350 s - 120 s - 120 \cdot 5$

Schritt 1.9.1.9

Mutltipliziere $- 120$ mit $5$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 350 s - 120 s - 600$

Schritt 1.9.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.9.2.1

Addiere $- 25 s^{4}$ und $10 s^{4}$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 15 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 350 s - 120 s - 600$

Schritt 1.9.2.2

Addiere $50 s^{3}$ und $65 s^{3}$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 15 s^{4} + 115 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 350 s - 120 s - 600$

Schritt 1.9.2.3

Subtrahiere $70 s^{2}$ von $325 s^{2}$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 15 s^{4} + 115 s^{3} + 255 s^{2} - 350 s - 120 s - 600$

Schritt 1.9.2.4

Subtrahiere $120 s$ von $- 350 s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 15 s^{4} + 115 s^{3} + 255 s^{2} - 470 s - 600$

Schritt 2

Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad seiner Terme.

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Schritt 2.1

Identifiziere die Exponenten der Variablen in jedem Term und addiere sie, um den Grad der einzelnen Terms zu ermitteln.

$- 5 s^{5} \to 5$

$- 15 s^{4} \to 4$

$115 s^{3} \to 3$

$255 s^{2} \to 2$

$- 470 s \to 1$

$- 600 \to 0$

Schritt 2.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$5$

Schritt 3

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$- 5 s^{5}$

Schritt 4

Der Leitkoeffizient eines Polynoms ist der Koeffizient des Führungsterms.

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Schritt 4.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$- 5 s^{5}$

Schritt 4.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$- 5$

Schritt 5

Führe die Ergebnisse auf.

Polynomgrad: $5$

Leitterm: $- 5 s^{5}$

Leitkoeffizient: $- 5$