Algebra Beispiele

$\sqrt{{({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(a + b)}^{2}$ als $(a + b) (a + b)$ um.

$\sqrt{{((a + b) (a + b) - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(a + b) (a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{{(a (a + b) + b (a + b) - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{{(a \cdot a + a b + b (a + b) - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{{(a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\sqrt{{(a^{2} + a b + b a + b \cdot b - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + a b + b a + b^{2} - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.3.2

Addiere $a b$ und $b a$ .

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Schritt 1.3.2.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$\sqrt{{(a^{2} + a b + a b + b^{2} - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $a b$ und $a b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.4

Schreibe ${(a - b)}^{2}$ als $(a - b) (a - b)$ um.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - ((a - b) (a - b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.5

Multipliziere $(a - b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a (a - b) - b (a - b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a \cdot a + a (- b) - b (a - b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a - b (- b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.6.1.4

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.4.1

Bewege $b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.6.1.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.6.1.6

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a + b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $b a$ von $- a b$ .

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Schritt 1.6.2.1

Bewege $b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.6.2.2

Subtrahiere $a b$ von $- a b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - 2 a b + b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - (- 2 a b) - b^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\sqrt{{(2 a b + b^{2} + 0 + 2 a b - b^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 2.1.2

Addiere $2 a b + b^{2}$ und $0$ .

$\sqrt{{(2 a b + b^{2} + 2 a b - b^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 2.1.3

Subtrahiere $b^{2}$ von $b^{2}$ .

$\sqrt{{(2 a b + 2 a b + 0)}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 2.1.4

Addiere $2 a b + 2 a b$ und $0$ .

$\sqrt{{(2 a b + 2 a b)}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 2.2

Addiere $2 a b$ und $2 a b$ .

$\sqrt{{(4 a b)}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $4 a b$ an.

$\sqrt{{(4 a)}^{2} b^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $4 a$ an.

$\sqrt{4^{2} a^{2} b^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 a^{2} b^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $12 a^{2} b^{2}$ von $16 a^{2} b^{2}$ .

$\sqrt{a^{4} + 4 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $a^{4}$ als ${(a^{2})}^{2}$ um.

$\sqrt{{(a^{2})}^{2} + 4 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Schritt 5.2

Schreibe $4 b^{4}$ als ${(2 b^{2})}^{2}$ um.

$\sqrt{{(a^{2})}^{2} + 4 a^{2} b^{2} + {(2 b^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 a^{2} b^{2} = 2 \cdot a^{2} \cdot (2 b^{2})$

Schritt 5.4

Schreibe das Polynom neu.

$\sqrt{{(a^{2})}^{2} + 2 \cdot a^{2} \cdot (2 b^{2}) + {(2 b^{2})}^{2}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a^{2}$ und $b = 2 b^{2}$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 b^{2})}^{2}}$

Schritt 6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a^{2} + 2 b^{2}$