Algebra Beispiele

$7^{x + 1} = 3^{2 x + 2}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (7^{x + 1}) = \ln (3^{2 x + 2})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (7^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (7) = \ln (3^{2 x + 2})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (3^{2 x + 2})$ durch Herausziehen von $2 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (7) = (2 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x + 1) \ln (7)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x + 1) \ln (7) = (2 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x + 1) \ln (7) = (2 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (7) + 1 \ln (7) = (2 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\ln (7)$ mit $1$ .

$x \ln (7) + \ln (7) = (2 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (7) + \ln (7) = 2 x \ln (3) + 2 \ln (3)$

Schritt 4.3

Subtrahiere $2 x \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (7) + \ln (7) - 2 x \ln (3) = 2 \ln (3)$

Schritt 4.4

Subtrahiere $\ln (7)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (7) - 2 x \ln (3) = 2 \ln (3) - \ln (7)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (7) - 2 x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (7)$ heraus.

$x (\ln (7)) - 2 x \ln (3) = 2 \ln (3) - \ln (7)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (7)) + x (- 2 \ln (3)) = 2 \ln (3) - \ln (7)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (7)) + x (- 2 \ln (3))$ heraus.

$x (\ln (7) - 2 \ln (3)) = 2 \ln (3) - \ln (7)$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (7) - 2 \ln (3)) = 2 \ln (3) - \ln (7)$ durch $\ln (7) - 2 \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (7) - 2 \ln (3)) = 2 \ln (3) - \ln (7)$ durch $\ln (7) - 2 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (7) - 2 \ln (3))}{\ln (7) - 2 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (7) - 2 \ln (3)} + \frac{- \ln (7)}{\ln (7) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7) - 2 \ln (3)$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (7) - 2 \ln (3))}{\ln (7) - 2 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (7) - 2 \ln (3)} + \frac{- \ln (7)}{\ln (7) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 \ln (3)}{\ln (7) - 2 \ln (3)} + \frac{- \ln (7)}{\ln (7) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 \ln (3) - \ln (7)}{\ln (7) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \ln (3) - \ln (7)$ und $\ln (7) - 2 \ln (3)$ .

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Schritt 4.6.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{- (- 2 \ln (3)) - \ln (7)}{\ln (7) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (7)$ heraus.

$x = \frac{- (- 2 \ln (3)) - \ln (7)}{\ln (7) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 \ln (3)) - \ln (7)$ heraus.

$x = \frac{- (- 2 \ln (3) + \ln (7))}{\ln (7) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3.2.4

Schreibe $- (- 2 \ln (3) + \ln (7))$ als $- 1 (- 2 \ln (3) + \ln (7))$ um.

$x = \frac{- 1 (- 2 \ln (3) + \ln (7))}{\ln (7) - 2 \ln (3)}$

Schritt 4.6.3.2.5

Stelle die Terme um.

$x = \frac{- 1 (- 2 \ln (3) + \ln (7))}{- 2 \ln (3) + \ln (7)}$

Schritt 4.6.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 1 (- 2 \ln (3) + \ln (7))}{- 2 \ln (3) + \ln (7)}$

Schritt 4.6.3.2.7

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$x = - 1$