Algebra Beispiele

$8 (2^{x}) = 7^{5 - 3 x}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (7^{5 - 3 x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (8 \cdot 2^{x})$ als $\ln (8) + \ln (2^{x})$ um.

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (7^{5 - 3 x})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (7^{5 - 3 x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (7^{5 - 3 x})$ durch Herausziehen von $5 - 3 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (8) + x \ln (2) = (5 - 3 x) \ln (7)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (8) + x \ln (2) = 5 \ln (7) - 3 x \ln (7)$

Schritt 5

Stelle $\ln (8)$ und $x \ln (2)$ um.

$x \ln (2) + \ln (8) = 5 \ln (7) - 3 x \ln (7)$

Schritt 6

Stelle $5 \ln (7)$ und $- 3 x \ln (7)$ um.

$x \ln (2) + \ln (8) = - 3 x \ln (7) + 5 \ln (7)$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) + \ln (8) + 3 x \ln (7) - 5 \ln (7) = 0$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $\ln (8)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) + 3 x \ln (7) - 5 \ln (7) = - \ln (8)$

Schritt 8.2

Addiere $5 \ln (7)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) + 3 x \ln (7) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Schritt 9

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2) + 3 x \ln (7)$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (2)) + 3 x \ln (7) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Schritt 9.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x \ln (7)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Schritt 9.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2)) + x (3 \ln (7))$ heraus.

$x (\ln (2) + 3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + 3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$ durch $\ln (2) + 3 \ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + 3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$ durch $\ln (2) + 3 \ln (7)$ .

$\frac{x (\ln (2) + 3 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)} = \frac{- \ln (8)}{\ln (2) + 3 \ln (7)} + \frac{5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2) + 3 \ln (7)$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (2) + 3 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)} = \frac{- \ln (8)}{\ln (2) + 3 \ln (7)} + \frac{5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (8)}{\ln (2) + 3 \ln (7)} + \frac{5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- \ln (8) + 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (8)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (8) + 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $5 \ln (7)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (8) - (- 5 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Schritt 10.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (8) - (- 5 \ln (7))$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (8) - 5 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Schritt 10.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.5.1

Schreibe $- (\ln (8) - 5 \ln (7))$ als $- 1 (\ln (8) - 5 \ln (7))$ um.

$x = \frac{- 1 (\ln (8) - 5 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Schritt 10.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (8) - 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (8) - 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Dezimalform:

$x = 1.17137537 \dots$