Algebra Beispiele

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 5^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 5, 5 - x, (x + 5) (x - 5)$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $x + 5$ ist $x + 5$ selbst.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $5 - x$ ist $5 - x$ selbst.

$(5 - x) = 5 - x$

$(5 - x)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $x + 5$ ist $x + 5$ selbst.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Der Teiler von $x - 5$ ist $x - 5$ selbst.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $x + 5, 5 - x, x + 5, x - 5$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + 5) (5 - x) (x - 5)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ mit $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ mit $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ heraus.

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$(5 - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$(- 1 (- 5) - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$(- 1 (- 5) - (x)) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 5) - (x)$ heraus.

$- 1 (- 5 + x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.5

Stelle die Terme um.

$- 1 (x - 5) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.6

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.7

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 1} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.10

Schreibe $- 1 {(x - 5)}^{2}$ als $- {(x - 5)}^{2}$ um.

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 - x$ .

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Schritt 3.2.1.11.1

Faktorisiere $5 - x$ aus $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ heraus.

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- {(x - 5)}^{2} + x ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.12

Multipliziere $(x + 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x (x - 5) + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.13

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 3.2.1.13.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 5$ und $5 x$ neu an.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.13.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.13.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.14.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.14.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} - 25) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.15

Wende das Distributivgesetz an.

$- {(x - 5)}^{2} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.16

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.16.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.16.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1} x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.16.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1 + 2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.16.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.2.1.17

Bringe $- 25$ auf die linke Seite von $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 5) (x - 5)$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ heraus.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Schritt 3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x (5 - x)$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x \cdot 5 + 2 x (- x)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 x (- x)$

Schritt 3.3.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.1

Bewege $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x - 2 x^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x = - 2 x^{2}$

Schritt 4.1.2

Addiere $2 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$- ((x - 5) (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$- (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$- (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$- (x^{2} - 10 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$- x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2}$ .

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Schritt 4.1.4.1

Subtrahiere $10 x$ von $10 x$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 0 + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x$ und $0$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $- x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Stelle die Terme um.

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} + x^{2}) - 25 x - 25 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x + 1) - 25 (x + 1) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - 25) = 0$

Schritt 4.2.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(x + 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x + 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 4.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4.6

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 5, 5$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$ nicht erfüllen.

$x = - 1$