Algebra Beispiele

$x - 2 = \sqrt{x - 2} + 12$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{x - 2} + 12 = x - 2$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{x - 2}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x - 2} = x - 2 - 12$

Schritt 2.2

Subtrahiere $12$ von $- 2$ .

$\sqrt{x - 2} = x - 14$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x - 2}}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 14)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 14)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{1} = {(x - 14)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$x - 2 = {(x - 14)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(x - 14)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(x - 14)}^{2}$ als $(x - 14) (x - 14)$ um.

$x - 2 = (x - 14) (x - 14)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(x - 14) (x - 14)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 = x (x - 14) - 14 (x - 14)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 (x - 14)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x - 2 = x^{2} + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $x$ .

$x - 2 = x^{2} - 14 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 14$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$x - 2 = x^{2} - 14 x - 14 x + 196$

Schritt 4.3.1.3.2

Subtrahiere $14 x$ von $- 14 x$ .

$x - 2 = x^{2} - 28 x + 196$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 28 x + 196 = x - 2$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 28 x + 196 - x = - 2$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 28 x$ .

$x^{2} - 29 x + 196 = - 2$

Schritt 5.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 29 x + 196 + 2 = 0$

Schritt 5.4

Addiere $196$ und $2$ .

$x^{2} - 29 x + 198 = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x^{2} - 29 x + 198$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $198$ und deren Summe $- 29$ ist.

$- 18, - 11$

Schritt 5.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 18) (x - 11) = 0$

Schritt 5.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 18 = 0$

$x - 11 = 0$

Schritt 5.7

Setze $x - 18$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $x - 18$ gleich $0$ .

$x - 18 = 0$

Schritt 5.7.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 18$

Schritt 5.8

Setze $x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze $x - 11$ gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

Schritt 5.8.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 11$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 18) (x - 11) = 0$ wahr machen.

$x = 18, 11$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $x - 2 = \sqrt{x - 2} + 12$ nicht erfüllen.

$x = 18$