Algebra Beispiele

$f (x) = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ als Gleichung.

$y = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 3 \sqrt{\frac{4 y - 7}{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 \sqrt{\frac{4 y - 7}{3}} = x$ um.

$- 3 \sqrt{\frac{4 y - 7}{3}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 3 \sqrt{\frac{4 y - 7}{3}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{4 y - 7}{3}}$ als ${(\frac{4 y - 7}{3})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 3 {(\frac{4 y - 7}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(- 3 {(\frac{4 y - 7}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 y - 7}{3}$ an.

${(- 3 \frac{{(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{{(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

${(\frac{- 3 {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(- \frac{(3) {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Bringe $3^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

${(- ((3) {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5

Multipliziere $3$ mit $3^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.5.1

Bewege $3^{- \frac{1}{2}}$ .

${(- (3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $3^{- \frac{1}{2}}$ mit $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.5.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

${(- (3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- (3^{- \frac{1}{2} + 1} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(- (3^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(- (3^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

${(- (3^{\frac{1}{2}} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- 3^{\frac{1}{2}} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $- 3^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.8

Mutltipliziere ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.9

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{1} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.10

Berechne den Exponenten.

$3 {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.11

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 {(4 y - 7)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.12

Vereinfache.

$3 (4 y - 7) = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.13

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (4 y) + 3 \cdot - 7 = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.14

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.1.14.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 y + 3 \cdot - 7 = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.14.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$12 y - 21 = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $21$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 y = x^{2} + 21$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $12 y = x^{2} + 21$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 y = x^{2} + 21$ durch $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{x^{2}}{12} + \frac{21}{12}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 y}{12} = \frac{x^{2}}{12} + \frac{21}{12}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{21}{12}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $12$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{3 (7)}{12}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{{(- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ an.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{{(- 3)}^{2} {\sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {\sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.3

Schreibe $\sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}}$ um.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.2.3.1.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}}{3})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}}{3}$ an.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}}^{2}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.8.1

Schreibe ${\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}}^{2}$ als $(4 x - 7) \cdot 3$ um.

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Schritt 5.2.3.1.8.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}$ als ${((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{({((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.8.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{(4 x - 7) \cdot 3}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{(4 x - 7) \cdot 3}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{4 x \cdot 3 - 7 \cdot 3}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{12 x - 7 \cdot 3}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{12 x - 21}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.5

Faktorisiere $3$ aus $12 x - 21$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.8.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x) - 21}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 21$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x) + 3 (- 7)}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.8.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x) + 3 (- 7)$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x - 7)}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x - 7)}{9})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.10.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x - 7)}{3 \cdot 3})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x - 7)}{3 \cdot 3})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{4 x - 7}{3})}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $9$ und $\frac{4 x - 7}{3}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{9 (4 x - 7)}{3}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{9 (4 x - 7)}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 (4 x - 7)$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{3 (3 (4 x - 7))}{3}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{3 (3 (4 x - 7))}{3 (1)}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{3 (3 (4 x - 7))}{3 \cdot 1}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{3 (4 x - 7)}{1}}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $3 (4 x - 7)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{3 (4 x - 7)}{12} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{3 (4 x - 7)}{3 \cdot 4} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{3 (4 x - 7)}{3 \cdot 4} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x - 7}{4} + \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x - 7 + 7}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x - 7 + 7$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{4 (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{4 (\frac{x^{2}}{12}) + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{4 (\frac{x^{2}}{4 (3)}) + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{4 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 3}) + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Schritt 5.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3} + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3} + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3} + 7 - 7}{3}}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.6.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3} + 0}{3}}$

Schritt 5.3.6.2

Addiere $\frac{x^{2}}{3}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3}}{3}}$

Schritt 5.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.8

Kombinieren.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2} \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.9

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 5.3.9.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Schritt 5.3.9.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.10

Schreibe $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ als ${(\frac{x}{3})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \frac{x}{3}$

Schritt 5.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = 3 (- 1) (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = 3 \cdot (- 1 \frac{x}{3})$

Schritt 5.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 1 x$

Schritt 5.3.13

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$