Algebra Beispiele

$(y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1

Vereinfache $(y - 1) (y - 2) (y - 3)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + (y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.3

Multipliziere $(y - 1) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(y (y - 2) - 1 (y - 2)) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 (y - 2)) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(y^{2} + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.4.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$(y^{2} - 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.4.1.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$(y^{2} - 2 y - y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$(y^{2} - 2 y - y + 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $y$ von $- 2 y$ .

$(y^{2} - 3 y + 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.5

Multipliziere $(y^{2} - 3 y + 2) (y - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y^{2} y + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.1.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.6.1.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y^{3} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$y^{3} - 3 \cdot y^{2} - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6.1.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.3.1

Bewege $y$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 (y \cdot y) - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} + 9 y + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} + 9 y + 2 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.6.2.1

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $- 3 y^{2}$ .

$y^{3} - 6 y^{2} + 9 y + 2 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.6.2.2

Addiere $9 y$ und $2 y$ .

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} = - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 2.2

Addiere $3 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} = 2 y$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Schritt 2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} - 2 y$ .

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $y^{3}$ von $y^{3}$ .

$- 6 y^{2} + 11 y - 6 + 0 + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- 6 y^{2} + 11 y - 6$ und $0$ .

$- 6 y^{2} + 11 y - 6 + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Schritt 2.5

Addiere $- 6 y^{2}$ und $3 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + 11 y - 6 - 2 y = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $2 y$ von $11 y$ .

$- 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 y^{2} + 9 y - 6$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$- 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $9 y$ heraus.

$- 3 y^{2} - 3 (- 3 y) - 6 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$- 3 y^{2} - 3 (- 3 y) - 3 \cdot 2 = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (y^{2}) - 3 (- 3 y)$ heraus.

$- 3 (y^{2} - 3 y) - 3 \cdot 2 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (y^{2} - 3 y) - 3 (2)$ heraus.

$- 3 (y^{2} - 3 y + 2) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y^{2} - 3 y + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 ((y - 2) (y - 1)) = 0$

Schritt 3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (y - 2) (y - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$y - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 6

Setze $y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $y - 1$ gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 (y - 2) (y - 1) = 0$ wahr machen.

$y = 2, 1$