Algebra Beispiele

$\frac{\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan (a)$ und $b = \sin (a)$ .

$\frac{(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\tan (a)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ heraus.

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\tan (a)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a)$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ heraus.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $- \sin (a)$ heraus.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1$ heraus.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1))}{\tan^{2} (a)}$

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.2.5.1

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.5.2

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 1.2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (a)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (a)$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $\sin^{2} (a)$ aus $\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ heraus.

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 5

Multipliziere $(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{1}{\cos (a)} (\frac{1}{\cos (a)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (a)}$ mit $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.1.1.2

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.1.1.3

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{1}{{\cos (a)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (a)}$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{- 1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (a)}$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.2

Addiere $- \frac{1}{\cos (a)}$ und $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + 0 - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 6.3

Addiere $\frac{1}{\cos^{2} (a)}$ und $0$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (a)$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 1 \cos^{2} (a)$

Schritt 7.3

Schreibe $- 1 \cos^{2} (a)$ als $- \cos^{2} (a)$ um.

$1 - \cos^{2} (a)$

Schritt 8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin^{2} (a)$