Algebra Beispiele

$x^{5} + 2 x^{3} + x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + 2 x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x = 0$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ heraus.

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze ${(x^{2} + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze ${(x^{2} + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 4.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 4.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 4.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, i, - i$

Schritt 6