Algebra Beispiele

$\frac{2 x - 3}{3 x + 2} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x - 3 = 0$

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{3}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{2}{3}$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x - 3}{3 x + 2}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x - 3}{3 x + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x + 2 = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 3) - 3}{3 (- 3) + 2} < 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $1.\overline{285714}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) - 3}{3 (0) + 2} < 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 1.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (4) - 3}{3 (4) + 2} < 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $0.3\overline{571428}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{2}{3}$ Falsch

$- \frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

$x < - \frac{2}{3}$ Falsch

$- \frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{2})$

Schritt 13