Algebra Beispiele

$\frac{4 + \sqrt{27}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{4 + \sqrt{9 (3)}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{4 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{9 (3)}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 (3 \sqrt{3})}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{(2 - 9 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{4 + 18 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} - 81 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Schritt 5

Multipliziere $(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 + 9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})$ .

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 239}$

Schritt 6.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 239}$

Schritt 6.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 239}$

Schritt 6.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 239}$

Schritt 6.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {\sqrt{3}}^{2}}{- 239}$

Schritt 6.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 239}$

Schritt 6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 239}$

Schritt 6.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 239}$

Schritt 6.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 239}$

Schritt 6.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{1}}{- 239}$

Schritt 6.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3}{- 239}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 81}{- 239}$

Schritt 6.2

Addiere $8$ und $81$ .

$\frac{89 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{- 239}$

Schritt 6.3

Addiere $36 \sqrt{3}$ und $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{89 + 42 \sqrt{3}}{- 239}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{89 + 42 \sqrt{3}}{239}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{89 + 42 \sqrt{3}}{239}$

Dezimalform:

$- 0.67676206 \dots$