Algebra Beispiele

$1 < | x + 2 | < 3$

Schritt 1

Bestimme die $x$ -Werte, die $1 < | x + 2 |$ erfüllen.

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Schritt 1.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$| x + 2 | > 1$

Schritt 1.2

Schreibe $| x + 2 | > 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.2.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x + 2 \geq 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 2$

Schritt 1.2.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x + 2$ nicht negativ ist.

$x + 2 > 1$

Schritt 1.2.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x + 2 < 0$

Schritt 1.2.5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 2$

Schritt 1.2.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x + 2$ negativ ist.

$- (x + 2) > 1$

Schritt 1.2.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - (x + 2) > 1 & x < - 2 \end{cases}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache $- (x + 2) > 1$ .

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Schritt 1.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - x - 1 \cdot 2 > 1 & x < - 2 \end{cases}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - x - 2 > 1 & x < - 2 \end{cases}$

Schritt 1.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 1 - 2$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x > - 1$

Schritt 1.4

Löse $- x - 2 > 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- x > 1 + 2$

Schritt 1.4.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- x > 3$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x > 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Term in $- x > 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x < - 3$

Schritt 1.5

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 3$ oder $x > - 1$

Schritt 2

Bestimme die $x$ -Werte, die $| x + 2 | < 3$ erfüllen.

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Schritt 2.1

Schreibe $| x + 2 | < 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x + 2 \geq 0$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 2$

Schritt 2.1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x + 2$ nicht negativ ist.

$x + 2 < 3$

Schritt 2.1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x + 2 < 0$

Schritt 2.1.5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 2$

Schritt 2.1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x + 2$ negativ ist.

$- (x + 2) < 3$

Schritt 2.1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - (x + 2) < 3 & x < - 2 \end{cases}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache $- (x + 2) < 3$ .

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Schritt 2.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - x - 1 \cdot 2 < 3 & x < - 2 \end{cases}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - x - 2 < 3 & x < - 2 \end{cases}$

Schritt 2.2

Löse $x + 2 < 3$ , wenn $x \geq - 2$ ergibt.

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Schritt 2.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 3 - 2$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$x < 1$

Schritt 2.2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 1$ und $x \geq - 2$ .

$- 2 \leq x < 1$

Schritt 2.3

Löse $- x - 2 < 3$ , wenn $x < - 2$ ergibt.

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Schritt 2.3.1

Löse $- x - 2 < 3$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.3.1.1.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < 3 + 2$

Schritt 2.3.1.1.2

Addiere $3$ und $2$ .

$- x < 5$

Schritt 2.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.2.1

Teile jeden Term in $- x < 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

Schritt 2.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{5}{- 1}$

Schritt 2.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x > - 5$

Schritt 2.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 5$ und $x < - 2$ .

$- 5 < x < - 2$

Schritt 2.4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 5 < x < 1$

Schritt 3

Die Lösung ist die Schnittmenge der Intervalle.

$x < - 3$ oder $x > - 1$

$- 5 < x < 1$

Schritt 4

Ermittle die Schnittmenge.

$- 5 < x < - 3$ oder $- 1 < x < 1$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 5 < x < - 3 or - 1 < x < 1$

Intervallschreibweise:

$(- 5, - 3) \cup (- 1, 1)$

Schritt 6