Algebra Beispiele

$\sqrt{{(5 + x^{2})}^{2}} = 5 + x^{2}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{{(5 + x^{2})}^{2}}}^{2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(5 + x^{2})}^{2}}$ als ${(5 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 + x^{2})}^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

${({(5 + x^{2})}^{1})}^{2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 + x^{2})}^{1})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + x^{2})}^{1 \cdot 2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache ${(5 + x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.1.1

Schreibe ${(5 + x^{2})}^{2}$ als $(5 + x^{2}) (5 + x^{2})$ um.

${(5 + x^{2})}^{2} = (5 + x^{2}) (5 + x^{2})$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $(5 + x^{2}) (5 + x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(5 + x^{2})}^{2} = 5 (5 + x^{2}) + x^{2} (5 + x^{2})$

Schritt 2.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(5 + x^{2})}^{2} = 5 \cdot 5 + 5 x^{2} + x^{2} (5 + x^{2})$

Schritt 2.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(5 + x^{2})}^{2} = 5 \cdot 5 + 5 x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} x^{2}$

Schritt 2.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 5 x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} x^{2}$

Schritt 2.4.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 5 x^{2} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} x^{2}$

Schritt 2.4.1.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1.3.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 5 x^{2} + 5 x^{2} + x^{2 + 2}$

Schritt 2.4.1.3.1.3.2

Addiere $2$ und $2$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 5 x^{2} + 5 x^{2} + x^{4}$

Schritt 2.4.1.3.2

Addiere $5 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 10 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache ${(5 + x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Forme um.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 0 + 0 + {(5 + x^{2})}^{2}$

Schritt 3.2.2

Schreibe ${(5 + x^{2})}^{2}$ als $(5 + x^{2}) (5 + x^{2})$ um.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = (5 + x^{2}) (5 + x^{2})$

Schritt 3.2.3

Multipliziere $(5 + x^{2}) (5 + x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 5 (5 + x^{2}) + x^{2} (5 + x^{2})$

Schritt 3.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 5 \cdot 5 + 5 x^{2} + x^{2} (5 + x^{2})$

Schritt 3.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 5 \cdot 5 + 5 x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} x^{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 5 x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} x^{2}$

Schritt 3.2.4.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 5 x^{2} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} x^{2}$

Schritt 3.2.4.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 5 x^{2} + 5 x^{2} + x^{2 + 2}$

Schritt 3.2.4.1.3.2

Addiere $2$ und $2$ .

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 5 x^{2} + 5 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $5 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 10 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $10 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} - 10 x^{2} = 25 + x^{4}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} - 10 x^{2} - x^{4} = 25$

Schritt 3.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $25 + 10 x^{2} + x^{4} - 10 x^{2} - x^{4}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $10 x^{2}$ .

$25 + x^{4} + 0 - x^{4} = 25$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $25 + x^{4}$ und $0$ .

$25 + x^{4} - x^{4} = 25$

Schritt 3.3.3.3

Subtrahiere $x^{4}$ von $x^{4}$ .

$25 + 0 = 25$

Schritt 3.3.3.4

Addiere $25$ und $0$ .

$25 = 25$

Schritt 3.4

Da $25 = 25$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$