Algebra Beispiele

$\sqrt{2 x} + 2 = \sqrt{5 x - 4}$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x} = \sqrt{5 x - 4} - 2$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x)}^{1} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$ als $(\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$ um.

$2 x = (\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} (\sqrt{5 x - 4} - 2) - 2 (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{5 x - 4}$ mit $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{5 x - 4}$ mit $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1} {\sqrt{5 x - 4}}^{1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1 + 1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{5 x - 4}}^{2}$ als $5 x - 4$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x - 4}$ als ${(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x = {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x = {(5 x - 4)}^{1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$2 x = 5 x - 4 + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sqrt{5 x - 4}$ .

$2 x = 5 x - 4 - 2 \cdot \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 x = 5 x - 4 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4} + 4$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $- 4$ und $4$ .

$2 x = 5 x + 0 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4}$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $5 x$ und $0$ .

$2 x = 5 x - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4}$

Schritt 3.3.1.3.4

Subtrahiere $2 \sqrt{5 x - 4}$ von $- 2 \sqrt{5 x - 4}$ .

$2 x = 5 x - 4 \sqrt{5 x - 4}$

Schritt 4

Löse nach $- 4 \sqrt{5 x - 4}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $5 x - 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x$ um.

$5 x - 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 4 \sqrt{5 x - 4}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x - 5 x$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $2 x$ .

$- 4 \sqrt{5 x - 4} = - 3 x$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 4 \sqrt{5 x - 4})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x - 4}$ als ${(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 4)}^{2} {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$16 {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(5 x - 4)}^{1} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$16 (5 x - 4) = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (5 x) + 16 \cdot - 4 = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$80 x + 16 \cdot - 4 = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$80 x - 64 = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(- 3 x)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 3 x$ an.

$80 x - 64 = {(- 3)}^{2} x^{2}$

Schritt 6.3.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$80 x - 64 = 9 x^{2}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$80 x - 64 - 9 x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $80 x - 64 - 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 7.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 7.2.1.1.1

Bewege $- 64$ .

$80 x - 9 x^{2} - 64 = 0$

Schritt 7.2.1.1.2

Stelle $80 x$ und $- 9 x^{2}$ um.

$- 9 x^{2} + 80 x - 64 = 0$

Schritt 7.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$- (9 x^{2}) + 80 x - 64 = 0$

Schritt 7.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $80 x$ heraus.

$- (9 x^{2}) - (- 80 x) - 64 = 0$

Schritt 7.2.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$- (9 x^{2}) - (- 80 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Schritt 7.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{2}) - (- 80 x)$ heraus.

$- (9 x^{2} - 80 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Schritt 7.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{2} - 80 x) - 1 (64)$ heraus.

$- (9 x^{2} - 80 x + 64) = 0$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 64 = 576$ und deren Summe gleich $b = - 80$ ist.

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Schritt 7.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 80$ aus $- 80 x$ heraus.

$- (9 x^{2} - 80 x + 64) = 0$

Schritt 7.2.2.1.1.2

Schreibe $- 80$ um als $- 8$ plus $- 72$

$- (9 x^{2} + (- 8 - 72) x + 64) = 0$

Schritt 7.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (9 x^{2} - 8 x - 72 x + 64) = 0$

Schritt 7.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((9 x^{2} - 8 x) - 72 x + 64) = 0$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (9 x - 8) - 8 (9 x - 8)) = 0$

Schritt 7.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x - 8$ .

$- ((9 x - 8) (x - 8)) = 0$

Schritt 7.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (9 x - 8) (x - 8) = 0$

Schritt 7.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 x - 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Schritt 7.4

Setze $9 x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $9 x - 8$ gleich $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $9 x - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = 8$

Schritt 7.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 8$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 8$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Schritt 7.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 7.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Schritt 7.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Schritt 7.5

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (9 x - 8) (x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{8}{9}, 8$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{2 x} + 2 = \sqrt{5 x - 4}$ nicht erfüllen.

$x = 8$