Algebra Beispiele

$(5 \sqrt{3} + \sqrt{15}) \cdot (3 \sqrt{5} - \sqrt{15})$

Schritt 1

Multipliziere $(5 \sqrt{3} + \sqrt{15}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{15})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sqrt{3} (3 \sqrt{5} - \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5} - \sqrt{15})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5} - \sqrt{15})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Multipliziere $5 \sqrt{3} (3 \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 \sqrt{3} \sqrt{5} + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$15 \sqrt{5 \cdot 3} + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 \sqrt{15} + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.2

Multipliziere $5 \sqrt{3} (- \sqrt{15})$ .

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{3} \sqrt{15} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{15 \cdot 3} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{45} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.3

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{9 (5)} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{3^{2} \cdot 5} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$15 \sqrt{15} - 5 (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.6

Multipliziere $\sqrt{15} (3 \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 \sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $15$ mit $5$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 \sqrt{75} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 \sqrt{25 (3)} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 (5 \sqrt{3}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Schritt 2.10

Multipliziere $\sqrt{15} (- \sqrt{15})$ .

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Schritt 2.10.1

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})$

Schritt 2.10.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})$

Schritt 2.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - {\sqrt{15}}^{1 + 1}$

Schritt 2.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - {\sqrt{15}}^{2}$

Schritt 2.11

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 2.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15^{1}$

Schritt 2.11.5

Berechne den Exponenten.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 1 \cdot 15$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15$

Dezimalform:

$35.53449264 \dots$