Algebra Beispiele

$x = 2 + \sqrt{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$2 + \sqrt{x^{2} - 1} = x$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x^{2} - 1} = x - 2$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 1}$ als ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 1 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$x^{2} - 1 = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 4.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 4 x + 4 = x^{2} - 1$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 4 - x^{2} = - 1$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 4 x + 4 - x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 4 x + 4 + 0 = - 1$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 4 x + 4$ und $0$ .

$- 4 x + 4 = - 1$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - 1 - 4$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$- 4 x = - 5$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 5$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 5$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $x = 2 + \sqrt{x^{2} - 1}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$