Algebra Beispiele

$\frac{27}{125} x^{6} - 8 y^{9}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{27}{125} x^{6}$ als ${(\frac{3}{5} x^{2})}^{3}$ um.

${(\frac{3}{5} x^{2})}^{3} - 8 y^{9}$

Schritt 2

Schreibe $8 y^{9}$ als ${(2 y^{3})}^{3}$ um.

${(\frac{3}{5} x^{2})}^{3} - {(2 y^{3})}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = \frac{3}{5} x^{2}$ und $b = 2 y^{3}$ .

$(\frac{3}{5} x^{2} - (2 y^{3})) ({(\frac{3}{5} x^{2})}^{2} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{2}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - (2 y^{3})) ({(\frac{3}{5} x^{2})}^{2} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) ({(\frac{3}{5} x^{2})}^{2} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{2}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) ({(\frac{3 x^{2}}{5})}^{2} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 x^{2}}{5}$ an.

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{{(3 x^{2})}^{2}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.4.2

Wende die Produktregel auf $3 x^{2}$ an.

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{3^{2} {(x^{2})}^{2}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 {(x^{2})}^{2}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{2 \cdot 2}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{3}{5} \cdot 2 x^{2} y^{3} + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.8

Multipliziere $\frac{3}{5} \cdot 2$ .

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Schritt 4.8.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{3 \cdot 2}{5} x^{2} y^{3} + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6}{5} x^{2} y^{3} + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $x^{2}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2}}{5} y^{3} + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{6 x^{2}}{5}$ und $y^{3}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + {(2 y^{3})}^{2})$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $2 y^{3}$ an.

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + 2^{2} {(y^{3})}^{2})$

Schritt 4.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + 4 {(y^{3})}^{2})$

Schritt 4.13

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.13.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + 4 y^{3 \cdot 2})$

Schritt 4.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + 4 y^{6})$

Schritt 4.14

Faktorisiere.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere $\frac{1}{25}$ aus jedem Term raus.

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{1}{25} (9 x^{4} + 30 x^{2} y^{3} + 100 y^{6}))$

Schritt 4.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) \frac{1}{25} (9 x^{4} + 30 x^{2} y^{3} + 100 y^{6})$