Algebra Beispiele

${(\frac{1}{3})}^{2 x^{2} - 10 x} = {(\frac{1}{27})}^{- 2 x + 42}$

Schritt 1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

${(\frac{1}{3})}^{2 x^{2} - 10 x} = {(\frac{1}{3})}^{3 (- 2 x + 42)}$

Schritt 2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 x^{2} - 10 x = 3 (- 2 x + 42)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $3 (- 2 x + 42)$ .

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 10 x = 3 (- 2 x) + 3 \cdot 42$

Schritt 3.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$2 x^{2} - 10 x = - 6 x + 3 \cdot 42$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $42$ .

$2 x^{2} - 10 x = - 6 x + 126$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 10 x + 6 x = 126$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 10 x$ und $6 x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 126$

Schritt 3.3

Subtrahiere $126$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 4 x - 126 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 4 x - 126$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 4 x - 126 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) - 126 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 126$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot - 63 = 0$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 2 x)$ heraus.

$2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot - 63 = 0$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot - 63$ heraus.

$2 (x^{2} - 2 x - 63) = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 63$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 63$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 9, 7$

Schritt 3.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x - 9) (x + 7)) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 9) (x + 7) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 3.7

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 9) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 9, - 7$