Algebra Beispiele

$x + y + x^{2} y + x y^{2} - x^{3} - y^{3}$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} - y^{3} + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} - y^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- (x^{3}) - y^{3} + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{3}$ heraus.

$- (x^{3}) - (y^{3}) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (y^{3})$ heraus.

$- (x^{3} + y^{3}) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Schritt 3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$- ((x + y) (x^{2} - x y + y^{2})) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Schritt 4

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y) + x^{2} y + x y^{2}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + 1 (x + y) + x y (x + y)$

Schritt 5

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + y$ .

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y) (1 + x y)$

Schritt 6

Faktorisiere $x + y$ aus $- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y) (1 + x y)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $x + y$ aus $- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ heraus.

$(x + y) (- 1 (x^{2} - x y + y^{2})) + (x + y) (1 + x y)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x + y$ aus $(x + y) (- 1 (x^{2} - x y + y^{2})) + (x + y) (1 + x y)$ heraus.

$(x + y) (- 1 (x^{2} - x y + y^{2}) + 1 + x y)$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + y) (- 1 x^{2} - 1 (- x y) - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$(x + y) (- x^{2} - 1 (- x y) - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Schritt 8.2

Multipliziere $- 1 (- x y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(x + y) (- x^{2} + 1 (x y) - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x + y) (- x^{2} + x y - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Schritt 8.3

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$(x + y) (- x^{2} + x y - y^{2} + 1 + x y)$

Schritt 9

Addiere $x y$ und $x y$ .

$(x + y) (- x^{2} + 2 x y - y^{2} + 1)$

Schritt 10

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Schreibe $- x^{2} + 2 x y - y^{2} + 1$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + y) (- x^{2} + 2 x y - y^{2} + 1^{2})$

Schritt 10.1.2

Schreibe $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ als ${(x - y)}^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.2.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Schritt 10.1.2.2

Schreibe das Polynom neu.

$(x + y) (- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}) + 1^{2})$

Schritt 10.1.2.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$(x + y) (- {(x - y)}^{2} + 1^{2})$

Schritt 10.1.3

Stelle $- {(x - y)}^{2}$ und $1^{2}$ um.

$(x + y) (1^{2} - {(x - y)}^{2})$

Schritt 10.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x - y$ .

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - (x - y)))$

Schritt 10.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - x - - y))$

Schritt 10.1.5.2

Multipliziere $- - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - x + 1 y))$

Schritt 10.1.5.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - x + y))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + y) (1 + x - y) (1 - x + y)$

Schritt 11

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $1 - x + y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Bewege $1$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- x + y + 1)$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$(x + y) (1 + x - y) (- (x) + y + 1)$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$(x + y) (1 + x - y) (- (x) - 1 (- y) + 1)$

Schritt 11.1.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$(x + y) (1 + x - y) (- (x) - 1 (- y) - 1 (- 1))$

Schritt 11.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- y)$ heraus.

$(x + y) (1 + x - y) (- (x - y) - 1 (- 1))$

Schritt 11.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x - y) - 1 (- 1)$ heraus.

$(x + y) (1 + x - y) (- (x - y - 1))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + y) (1 + x - y) \cdot - 1 (x - y - 1)$

Schritt 12

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- ((x + y) (1 + x - y) (x - y - 1))$

Schritt 13

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + y) (1 + x - y) (x - y - 1)$