Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ als Gleichung.

$y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$ um.

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $1 + e^{- y}$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{- y}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - e^{- y} = x (1 + e^{- y})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $x (1 + e^{- y})$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - e^{- y} = x \cdot 1 + x e^{- y}$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 - e^{- y} = x + x e^{- y}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x e^{- y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 - e^{- y} - x e^{- y} = x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{- y} - x e^{- y} = x - 1$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $- e^{- y} - x e^{- y}$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $- e^{- y}$ heraus.

$e^{- y} \cdot - 1 - x e^{- y} = x - 1$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $- x e^{- y}$ heraus.

$e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x) = x - 1$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x)$ heraus.

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ durch $- 1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ durch $- 1 - x$ .

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $e^{- y}$ durch $1$ .

$e^{- y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Schritt 3.4.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Schritt 3.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (x)$ heraus.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Schritt 3.4.4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Schritt 3.4.5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Schritt 3.4.6

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.6.1

Zerlege $\ln (e^{- y})$ durch Herausziehen von $- y$ aus dem Logarithmus.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Schritt 3.4.6.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Schritt 3.4.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Schritt 3.4.7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.7.1

Vereinfache $\ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$ .

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Schritt 3.4.7.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x - 1}{1 + x}$ in zwei Brüche.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}))$

Schritt 3.4.7.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{1 + x}))$

Schritt 3.4.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} - - \frac{1}{1 + x})$

Schritt 3.4.7.1.4

Multipliziere $- - \frac{1}{1 + x}$ .

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Schritt 3.4.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + 1 \frac{1}{1 + x})$

Schritt 3.4.7.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + x}$ mit $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Schritt 3.4.8

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Schritt 3.4.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Schritt 3.4.8.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Schritt 3.4.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.8.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Schritt 3.4.8.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ als $- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ um.

$y = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- (1 - e^{- x}) + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 \cdot 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.4.3

Multipliziere $- - e^{- x}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + 1 e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.4.3.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.4.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{0 + e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.4.5

Addiere $0$ und $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.4.6

Addiere $e^{- x}$ und $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.6.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.6.3

Schreibe $\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.6.3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + e^{- x} - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.6.3.2

Subtrahiere $e^{- x}$ von $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 0}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.6.3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{1 + e^{- x}}})$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 (\frac{1 + e^{- x}}{2})))$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $\frac{1 + e^{- x}}{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{- x}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 (e^{- x})}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Schritt 5.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Schritt 5.2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{- x}$ .

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Schritt 5.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Schritt 5.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (e^{- x})$

Schritt 5.2.11

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \ln (e))$

Schritt 5.2.12

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \cdot 1)$

Schritt 5.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}{1 + e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Mutltipliziere $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ mit $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x - (- x + 1)}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.6

Stelle die Terme um.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.7

Schreibe $\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.7.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.3.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + 1 x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.7.4

Addiere $x$ und $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.7.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.7.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.4.2

Multipliziere $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.4.2.2

Mutltipliziere $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ mit $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Schritt 5.3.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Schritt 5.3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - x + 1}{1 + x}}$

Schritt 5.3.4.6

Stelle die Terme um.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}}$

Schritt 5.3.4.7

Schreibe $\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.7.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Schritt 5.3.4.7.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Schritt 5.3.4.7.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$