Algebra Beispiele

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{16 - b^{4}} \div \frac{4 - a^{2}}{4 + b^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{16 - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{a^{2} + 4 a + 2^{2}}{16 - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2}}{16 - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 2$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{16 - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{4^{2} - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 3.2

Schreibe $b^{4}$ als ${(b^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{4^{2} - {(b^{2})}^{2}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = b^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) (4 - b^{2})} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) (2^{2} - b^{2})} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 3.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = b$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) (2 + b) (2 - b)} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 + b^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4 + b^{2}$ aus $(4 + b^{2}) (2 + b) (2 - b)$ heraus.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) ((2 + b) (2 - b))} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) ((2 + b) (2 - b))} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b)} \cdot \frac{1}{4 - a^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b)}$ mit $\frac{1}{4 - a^{2}}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b) (4 - a^{2})}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b) (2^{2} - a^{2})}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = a$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b) (2 + a) (2 - a)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a + 2)}^{2}$ und $2 + a$ .

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b) (a + 2) (2 - a)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $a + 2$ aus ${(a + 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{(2 + b) (2 - b) (a + 2) (2 - a)}$

Schritt 6.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $a + 2$ aus $(2 + b) (2 - b) (a + 2) (2 - a)$ heraus.

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{(a + 2) ((2 + b) (2 - b) (2 - a))}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{(a + 2) ((2 + b) (2 - b) (2 - a))}$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 2}{(2 + b) (2 - b) (2 - a)}$