Algebra Beispiele

${(\frac{1}{216})}^{10 x + 16} = {(\frac{1}{6})}^{- 2 x^{2} + 8 x}$

Schritt 1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

${(\frac{1}{6})}^{3 (10 x + 16)} = {(\frac{1}{6})}^{- 2 x^{2} + 8 x}$

Schritt 2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$3 (10 x + 16) = - 2 x^{2} + 8 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 2 x^{2} + 8 x = 3 (10 x + 16)$

Schritt 3.2

Vereinfache $3 (10 x + 16)$ .

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 8 x = 3 (10 x) + 3 \cdot 16$

Schritt 3.2.2

Multipliziere.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$- 2 x^{2} + 8 x = 30 x + 3 \cdot 16$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$- 2 x^{2} + 8 x = 30 x + 48$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $30 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 8 x - 30 x = 48$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $30 x$ von $8 x$ .

$- 2 x^{2} - 22 x = 48$

Schritt 3.4

Subtrahiere $48$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} - 22 x - 48 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} - 22 x - 48$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} - 22 x - 48 = 0$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 22 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (11 x) - 48 = 0$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 48$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (11 x) - 2 \cdot 24 = 0$

Schritt 3.5.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (11 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} + 11 x) - 2 \cdot 24 = 0$

Schritt 3.5.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} + 11 x) - 2 (24)$ heraus.

$- 2 (x^{2} + 11 x + 24) = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 11 x + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $11$ ist.

$3, 8$

Schritt 3.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 ((x + 3) (x + 8)) = 0$

Schritt 3.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x + 3) (x + 8) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.8

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x + 3) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, - 8$