Algebra Beispiele

$y = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{1}{2} y^{3} + 6$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{2} y^{3} + 6 = x$ um.

$- \frac{1}{2} y^{3} + 6 = x$

Schritt 2.2

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{3}}{2} + 6 = x$

Schritt 2.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y^{3}}{2} = x - 6$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y^{3}}{2}) = - 2 (x - 6)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{y^{3}}{2})$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{3}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

Schritt 2.5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

Schritt 2.5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y^{3} = - 2 (x - 6)$

Schritt 2.5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 2.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{3} = - 2 (x - 6)$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$y^{3} = - 2 (x - 6)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $- 2 (x - 6)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = - 2 x - 2 \cdot - 6$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$y^{3} = - 2 x + 12$

Schritt 2.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- 2 x + 12}$

Schritt 2.7

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 12$ heraus.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{2 (- x) + 12}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y = \sqrt[3]{2 (- x) + 2 (6)}$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (6)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (- (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) + 6)}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (- (- \frac{x^{3}}{2} + 6) + 6)}$

Schritt 4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} - 1 \cdot 6 + 6)}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} - 6 + 6)}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} + 0)}$

Schritt 4.2.5.3

Addiere $\frac{x^{3}}{2}$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2})}$

Schritt 4.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{3}}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.7.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x^{3}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Schritt 4.2.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Schritt 4.2.7.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 4.2.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 (- x + 6)})}^{3} + 6$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2 (- x + 6)}}^{3}$ als $2 (- x + 6)$ um.

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Schritt 4.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ als ${(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {({(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

Schritt 4.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

Schritt 4.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{3}{3}} + 6$

Schritt 4.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{3}{3}} + 6$

Schritt 4.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Schritt 4.3.3.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - 1 \cdot (- x + 6) + 6$

Schritt 4.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - 1 (- x) - 1 \cdot 6 + 6$

Schritt 4.3.3.4

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = 1 x - 1 \cdot 6 + 6$

Schritt 4.3.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x - 1 \cdot 6 + 6$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x - 6 + 6$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$