Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{- x} - 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{1}{2} \cdot e^{- x} - 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot e^{- x} - 1 = 0$ um.

$\frac{1}{2} \cdot e^{- x} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{2} - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{e^{- x}}{2} = 1$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \cdot 2 = 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x}}{2} \cdot 2 = 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- x} = 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{- x} = 2$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (2)$

Schritt 1.2.6.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 1.2.6.2.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$- x \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 1.2.6.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 1.2.6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x = \ln (2)$

Schritt 1.2.6.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = \ln (2)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = \ln (2)$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (2)}{- 1}$

Schritt 1.2.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (2)}{- 1}$

Schritt 1.2.6.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{- 1}$

Schritt 1.2.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (2)}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \ln (2)$

Schritt 1.2.6.3.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$x = - \ln (2)$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \ln (2), 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{- (0)} - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot e^{- (0)} - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{0} - 1$

Schritt 2.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot 1 - 1$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{2} - 1$

Schritt 2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 - 2}{2}$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{1}{2})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \ln (2), 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{1}{2})$

Schritt 4