Algebra Beispiele

$\frac{x^{3} - y^{3}}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + x y + y^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x y + y^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2} + x y + y^{2}$ aus $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ heraus.

$\frac{(x^{2} + x y + y^{2}) (x - y)}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + x y + y^{2}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + x y + y^{2}) (x - y)}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + x y + y^{2}}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - y}{x + y} \cdot ((x + y) (x - y))$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - y}{x + y} \cdot ((x + y) (x - y))$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(x - y) \cdot (x - y)$

Schritt 4

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

${(x - y)}^{1} \cdot (x - y)$

Schritt 5

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

${(x - y)}^{1} \cdot {(x - y)}^{1}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - y)}^{1 + 1}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - y)}^{2}$

Schritt 7.2

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$(x - y) (x - y)$

Schritt 8

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - y) - y (x - y)$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Schritt 9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Schritt 9.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Schritt 9.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Schritt 9.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.4.1

Bewege $y$ .

$x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Schritt 9.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 9.2.1

Bewege $y$ .

$x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$x^{2} - 2 x y + y^{2}$