Algebra Beispiele

$(\frac{\sqrt{6} - i \sqrt{3}}{3}) (\frac{\sqrt{6} + i \sqrt{3}}{3})$

Schritt 1

Multipliziere $(\frac{\sqrt{6} - i \sqrt{3}}{3}) (\frac{\sqrt{6} + i \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - i \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{\sqrt{6} + i \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - i \sqrt{3}) (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(\sqrt{6} - i \sqrt{3}) (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 2

Multipliziere $(\sqrt{6} - i \sqrt{3}) (\sqrt{6} + i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{6 + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $\sqrt{6} (i \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 + \sqrt{3 \cdot 6} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{6 + \sqrt{18} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{6 + \sqrt{9 (2)} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.6.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{6 + \sqrt{3^{2} \cdot 2} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.8

Multipliziere $- i \sqrt{3} \sqrt{6}$ .

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Schritt 3.1.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{6 \cdot 3} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{18} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.9

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.9.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{9 (2)} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.9.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{3^{2} \cdot 2} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i (3 \sqrt{2}) - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.12

Multipliziere $- i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.1.12.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Schritt 3.1.12.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Schritt 3.1.12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Schritt 3.1.12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Schritt 3.1.12.5

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{9}$

Schritt 3.1.12.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{9}$

Schritt 3.1.12.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{9}$

Schritt 3.1.12.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Schritt 3.1.13

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Schritt 3.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 1 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Schritt 3.1.15

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Schritt 3.1.16

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.16.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Schritt 3.1.16.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Schritt 3.1.16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Schritt 3.1.16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.16.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Schritt 3.1.16.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{1}}{9}$

Schritt 3.1.16.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3}{9}$

Schritt 3.2

Addiere $6$ und $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 9}{9}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $3 \sqrt{2} i$ um.

$\frac{3 i \sqrt{2} - 3 i \sqrt{2} + 9}{9}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $3 i \sqrt{2}$ von $3 i \sqrt{2}$ .

$\frac{0 + 9}{9}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $9$ .

$\frac{9}{9}$

Schritt 4

Dividiere $9$ durch $9$ .

$1$