Algebra Beispiele

$\sqrt{2 x + 5} = \sqrt{x + 2} + 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x + 5}}^{2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 5}$ als ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 5)}^{1} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 x + 5 = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$ als $(\sqrt{x + 2} + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)$ um.

$2 x + 5 = (\sqrt{x + 2} + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{x + 2} + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 5 = \sqrt{x + 2} (\sqrt{x + 2} + 1) + 1 (\sqrt{x + 2} + 1)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 5 = \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 (\sqrt{x + 2} + 1)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 5 = \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x + 2}$ mit $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x + 2}$ mit $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ als $x + 2$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + 5 = {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{1} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{x + 2}$ mit $1$ .

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $\sqrt{x + 2}$ mit $1$ .

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} + 1$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x + 5 = x + 3 + \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2}$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{x + 2}$ und $\sqrt{x + 2}$ .

$2 x + 5 = x + 3 + 2 \sqrt{x + 2}$

Schritt 3

Löse nach $2 \sqrt{x + 2}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x + 3 + 2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5$ um.

$x + 3 + 2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{x + 2}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 + 2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5 - x$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5 - x - 3$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$2 \sqrt{x + 2} = x + 5 - 3$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$2 \sqrt{x + 2} = x + 2$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 2)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 2) = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 2 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 x + 8 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$4 x + 8 = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 8 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 5.3.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 4 x + 4 = 4 x + 8$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 4 - 4 x = 8$

Schritt 6.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 4 x + 4 - 4 x$ .

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$x^{2} + 0 + 4 = 8$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} + 4 = 8$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 8 - 4$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 6.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 6.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 6.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 6.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 6.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 6.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$