Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 2 a x = 0$

Schritt 1

Da $x = r \cos (θ)$ ist, ersetze $x$ durch $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + y^{2} - 2 a (r \cos (θ)) = 0$

Schritt 2

Da $y = r \sin (θ)$ ist, ersetze $y$ durch $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + {(r \sin (θ))}^{2} - 2 a (r \cos (θ)) = 0$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $r \cos (θ)$ an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + {(r \sin (θ))}^{2} - 2 a (r \cos (θ)) = 0$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $r \sin (θ)$ an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 2 a r \cos (θ) = 0$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \cos^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 2 a r \cos (θ) = 0$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \sin^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 2 a r \cos (θ) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 2 a r \cos (θ) = 0$

Schritt 3.1.3

Ordne Terme um.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 2 a r \cos (θ) = 0$

Schritt 3.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$r^{2} \cdot 1 - 2 a r \cos (θ) = 0$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $r^{2}$ mit $1$ .

$r^{2} - 2 a r \cos (θ) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $r$ aus $r^{2} - 2 a r \cos (θ)$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{2}$ heraus.

$r \cdot r - 2 a r \cos (θ) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $r$ aus $- 2 a r \cos (θ)$ heraus.

$r \cdot r + r (- 2 a \cos (θ)) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $r$ aus $r \cdot r + r (- 2 a \cos (θ))$ heraus.

$r (r - 2 a \cos (θ)) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r = 0$

$r - 2 a \cos (θ) = 0$

Schritt 3.4

Setze $r$ gleich $0$ .

$r = 0$

Schritt 3.5

Setze $r - 2 a \cos (θ)$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $r - 2 a \cos (θ)$ gleich $0$ .

$r - 2 a \cos (θ) = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $2 a \cos (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 2 a \cos (θ)$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $r (r - 2 a \cos (θ)) = 0$ wahr machen.

$r = 0$

$r = 2 a \cos (θ)$

$r = 0$

$r = 2 a \cos (θ)$