Algebra Beispiele

$\sqrt[n - 1]{27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2}} = 243 x^{6} y^{2}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $n - 1$ . Potenz.

${\sqrt[n - 1]{27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2}}}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[n - 1]{27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2}}$ als ${(27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}}$ neu zu schreiben.

${({(27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $27$ mit $5$ .

${({(14348907 {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $x^{9} y^{3}$ an.

${({(14348907 ({(x^{9})}^{2} {(y^{3})}^{2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{9})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({(14348907 (x^{9 \cdot 2} {(y^{3})}^{2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

${({(14348907 (x^{18} {(y^{3})}^{2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({(14348907 (x^{18} y^{3 \cdot 2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${({(14348907 (x^{18} y^{6}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $14348907 x^{18} y^{6}$ an.

${({(14348907 x^{18})}^{\frac{1}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $14348907 x^{18}$ an.

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} {(x^{18})}^{\frac{1}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{18})}^{\frac{1}{n - 1}}$ .

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Schritt 2.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{18 \frac{1}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.6.2

Kombiniere $18$ und $\frac{1}{n - 1}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}}$ .

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Schritt 2.2.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} y^{6 \frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.7.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{n - 1}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} y^{\frac{6}{n - 1}}$ an.

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}}$ an.

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.9

Multipliziere die Exponenten in ${(14348907^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.1.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907^{\frac{1}{n - 1} (n - 1)} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n - 1$ .

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Schritt 2.2.1.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14348907^{\frac{1}{n - 1} (n - 1)} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$14348907^{1} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.10

Berechne den Exponenten.

$14348907 {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.11

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.1.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{\frac{18}{n - 1} (n - 1)} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n - 1$ .

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Schritt 2.2.1.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14348907 x^{\frac{18}{n - 1} (n - 1)} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$14348907 x^{18} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.12

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.1.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{18} y^{\frac{6}{n - 1} (n - 1)} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n - 1$ .

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Schritt 2.2.1.12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14348907 x^{18} y^{\frac{6}{n - 1} (n - 1)} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.2.1.12.2.2

Forme den Ausdruck um.

$14348907 x^{18} y^{6} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $243 x^{6} y^{2}$ an.

$14348907 x^{18} y^{6} = {(243 x^{6})}^{n - 1} {(y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $243 x^{6}$ an.

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} {(x^{6})}^{n - 1} {(y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 (n - 1)} {(y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n + 6 \cdot - 1} {(y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.3.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} {(y^{2})}^{n - 1}$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 (n - 1)}$

Schritt 2.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n + 2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2}$

Schritt 3

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2} = 14348907 x^{18} y^{6}$ um.

$243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2} = 14348907 x^{18} y^{6}$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2})$ als $\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2})$ um.

$\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6})$ als $\ln (243^{n - 1}) + \ln (x^{6 n - 6})$ um.

$\ln (243^{n - 1}) + \ln (x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.3.3

Zerlege $\ln (243^{n - 1})$ durch Herausziehen von $n - 1$ aus dem Logarithmus.

$(n - 1) \ln (243) + \ln (x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.3.4

Zerlege $\ln (x^{6 n - 6})$ durch Herausziehen von $6 n - 6$ aus dem Logarithmus.

$(n - 1) \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.3.5

Zerlege $\ln (y^{2 n - 2})$ durch Herausziehen von $2 n - 2$ aus dem Logarithmus.

$(n - 1) \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n \ln (243) - 1 \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $- 1 \ln (243)$ als $- \ln (243)$ um.

$n \ln (243) - \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$n \ln (243) - \ln (243) + 6 n \ln (x) - 6 \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$n \ln (243) - \ln (243) + 6 n \ln (x) - 6 \ln (x) + 2 n \ln (y) - 2 \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1

Bewege $- 6 \ln (x)$ .

$n \ln (243) - \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.5.2

Bewege $- \ln (243)$ .

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - \ln (243) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - \ln (243) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = 0$

Schritt 3.7

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.7.1

Addiere $\ln (243)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = \ln (243)$

Schritt 3.7.2

Addiere $6 \ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - 2 \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = \ln (243) + 6 \ln (x)$

Schritt 3.7.3

Addiere $2 \ln (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$

Schritt 3.7.4

Addiere $\ln (14348907 x^{18} y^{6})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.8

Faktorisiere $n$ aus $n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y)$ heraus.

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $n$ aus $n \ln (243)$ heraus.

$n (\ln (243)) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.8.2

Faktorisiere $n$ aus $6 n \ln (x)$ heraus.

$n (\ln (243)) + n (6 \ln (x)) + 2 n \ln (y) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.8.3

Faktorisiere $n$ aus $2 n \ln (y)$ heraus.

$n (\ln (243)) + n (6 \ln (x)) + n (2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.8.4

Faktorisiere $n$ aus $n (\ln (243)) + n (6 \ln (x))$ heraus.

$n (\ln (243) + 6 \ln (x)) + n (2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.8.5

Faktorisiere $n$ aus $n (\ln (243) + 6 \ln (x)) + n (2 \ln (y))$ heraus.

$n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Schritt 3.9

Teile jeden Ausdruck in $n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$ durch $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ und vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Teile jeden Ausdruck in $n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$ durch $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ .

$\frac{n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y))}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} = \frac{\ln (243)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Schritt 3.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ .

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Schritt 3.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.9.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{\ln (243)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Schritt 3.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.9.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Schritt 3.9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Schritt 3.9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ .

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Schritt 3.9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Schritt 3.9.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$n = 1 + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Schritt 3.9.3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Schritt 3.9.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$