Algebra Beispiele

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3

Um $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x + 2) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 1}$ mit $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ um.

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (x - 2) (x - 1)$ um.

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x ((x + 2) (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 6.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$\frac{x (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x (x^{2} + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x (x^{2} - 4) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.6

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 \cdot x + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.7

Addiere $- 4 x$ und $x$ .

$\frac{x^{3} - 3 x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$