Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(\sqrt{2} + \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{20} + \sqrt{20} - {\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Potenziere $\sqrt{2} - \sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt{2} - \sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1} {(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1}}{- 8}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1 + 1}}{- 8}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{2}}{- 8}$

Schritt 4

Schreibe ${(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{2}$ als $(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ um.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 5

Multipliziere $(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{10}) - \sqrt{10} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{10})$ .

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Schritt 6.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 - \sqrt{2 \cdot 10} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{2 - \sqrt{20} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{2 - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.9

Multipliziere $- \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

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Schritt 6.1.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2 \cdot 10} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{20} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.10

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Schritt 6.1.13

Multipliziere $- \sqrt{10} (- \sqrt{10})$ .

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Schritt 6.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 1 \sqrt{10} \sqrt{10}}{- 8}$

Schritt 6.1.13.2

Mutltipliziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{- 8}$

Schritt 6.1.13.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}{- 8}$

Schritt 6.1.13.4

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}{- 8}$

Schritt 6.1.13.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{- 8}$

Schritt 6.1.13.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{2}}{- 8}$

Schritt 6.1.14

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 6.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 8}$

Schritt 6.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 8}$

Schritt 6.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Schritt 6.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Schritt 6.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{1}}{- 8}$

Schritt 6.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10}{- 8}$

Schritt 6.2

Addiere $2$ und $10$ .

$\frac{12 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5}}{- 8}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $2 \sqrt{5}$ von $- 2 \sqrt{5}$ .

$\frac{12 - 4 \sqrt{5}}{- 8}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 - 4 \sqrt{5}$ und $- 8$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 (3) - 4 \sqrt{5}}{- 8}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{4 (3) + 4 (- \sqrt{5})}{- 8}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (3) + 4 (- \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{- 8}$

Schritt 7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4 \cdot - 2}$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4 \cdot - 2}$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$- 0.38196601 \dots$