Algebra Beispiele

${(\frac{y^{2 x}}{y^{6}})}^{- 1} = {(y^{- 3})}^{4}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{y^{2 x}}{y^{6}})}^{- 1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{y^{2 x}}{y^{6}})}^{- 1})$ durch Herausziehen von $- 1$ aus dem Logarithmus.

$- \ln (\frac{y^{2 x}}{y^{6}}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{y^{2 x}}{y^{6}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $y^{6}$ aus $y^{2 x}$ heraus.

$- \ln (\frac{y^{6} y^{2 x - 6}}{y^{6}}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$- \ln (\frac{y^{6} y^{2 x - 6}}{y^{6} \cdot 1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (\frac{y^{6} y^{2 x - 6}}{y^{6} \cdot 1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (\frac{y^{2 x - 6}}{1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 2.3

Dividiere $y^{2 x - 6}$ durch $1$ .

$- \ln (y^{2 x - 6}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 2.4

Zerlege $\ln (y^{2 x - 6})$ durch Herausziehen von $2 x - 6$ aus dem Logarithmus.

$- ((2 x - 6) \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $- ((2 x - 6) \ln (y))$ .

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 x \ln (y) - 6 \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 x \ln (y)) - (- 6 \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 3.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (x \ln (y)) - (- 6 \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\ln ({(y^{- 3})}^{4})$ .

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Schritt 4.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{- 3})}^{4}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln (y^{- 3 \cdot 4})$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln (y^{- 12})$

Schritt 4.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln (\frac{1}{y^{12}})$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) - \ln (\frac{1}{y^{12}}) = 0$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $6 \ln (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x \ln (y) - \ln (\frac{1}{y^{12}}) = - 6 \ln (y)$

Schritt 6.2

Addiere $\ln (\frac{1}{y^{12}})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x \ln (y) = - 6 \ln (y) + \ln (\frac{1}{y^{12}})$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x \ln (y) = - 6 \ln (y) + \ln (\frac{1}{y^{12}})$ durch $- 2 \ln (y)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x \ln (y) = - 6 \ln (y) + \ln (\frac{1}{y^{12}})$ durch $- 2 \ln (y)$ .

$\frac{- 2 x \ln (y)}{- 2 \ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x \ln (y)}{- 2 \ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (y)$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 2$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6 \ln (y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 (3 \ln (y))}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \ln (y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 (3 \ln (y))}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 2 (3 \ln (y))}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (y)$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.3.1.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$x = 3 + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Schritt 7.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 3 - \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{2 \ln (y)}$