Algebra Beispiele

$\log_{4} (x^{2} - x) = 1 + \log_{4} (5)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{4} (x^{2} - x) - \log_{4} (5) = 1$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - x}{5}) = 1$

Schritt 3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x \cdot x - x}{5}) = 1$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{5}) = 1$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$

Schritt 4

Schreibe $\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x - 1)}{5}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x (x - 1)}{5} = 4^{1}$ um.

$\frac{x (x - 1)}{5} = 4$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $5 \frac{x (x - 1)}{5}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Schritt 5.3.1.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x (x - 1) = 5 \cdot 4^{1}$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Schritt 5.3.1.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Schritt 5.3.1.1.1.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 5 \cdot 4^{1}$

Schritt 5.3.1.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x = 5 \cdot 4^{1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $5 \cdot 4^{1}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Berechne den Exponenten.

$x^{2} - x = 5 \cdot 4$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$x^{2} - x = 20$

Schritt 5.4

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 5.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Schritt 5.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 5.7

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 5.7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 5.8

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 5.8.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 4$