Algebra Beispiele

f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$

Schritt 1

Die Mutterfunktion ist die einfachste Form des gegebenen Funktionstypen.

g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}

$g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Schritt 2

Die Transformation von der ersten Gleichung zur zweiten kann bestimmt werden, indem

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ für jede Gleichung gefunden wird.

y = a b^{x - h} + k

$y = a b^{x - h} + k$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x + 2 \cdot - 3} + 1

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x + 2 \cdot - 3} + 1$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 3

$- 3$ .

f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x - 6} + 1

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x - 6} + 1$

Schritt 3.1.1.3

Wende die Produktregel auf

\frac{4}{3}

$\frac{4}{3}$ an.

f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1$

f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1$

Schritt 3.1.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe

1

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + \frac{3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + \frac{3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Schreibe

3^{2 x - 6}

$3^{2 x - 6}$ als

{(3^{x - 3})}^{2}

${(3^{x - 3})}^{2}$ um.

f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe

4^{2 x - 6}

$4^{2 x - 6}$ als

{(4^{x - 3})}^{2}

${(4^{x - 3})}^{2}$ um.

f (x) = \frac{- {(4^{x - 3})}^{2} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = \frac{- {(4^{x - 3})}^{2} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.2.3

Stelle

- {(4^{x - 3})}^{2}

$- {(4^{x - 3})}^{2}$ und

{(3^{x - 3})}^{2}

${(3^{x - 3})}^{2}$ um.

f (x) = \frac{{(3^{x - 3})}^{2} - {(4^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = \frac{{(3^{x - 3})}^{2} - {(4^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = 3^{x - 3}

$a = 3^{x - 3}$ und

b = 4^{x - 3}

$b = 4^{x - 3}$ .

f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}$

f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}$

f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}

$f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 4

Ermittle

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ für

g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}

$g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$ .

a = 1

$a = 1$

h = 0

$h = 0$

k = 0

$k = 0$

Schritt 5

Ermittle

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ für

f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$ .

a = - 1

$a = - 1$

h = 3

$h = 3$

k = 1

$k = 1$

Schritt 6

Die horizontale Verschiebung hängt vom Wert von

h

$h$ ab. Die horizontale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

f (x) = f (x + h)

$f (x) = f (x + h)$ – Der Graph ist um

h

$h$ Einheiten nach links verschoben.

f (x) = f (x - h)

$f (x) = f (x - h)$ – Der Graph ist um

h

$h$ Einheiten nach rechts verschoben.

Horizontale Verschiebung: Rechte

3

$3$ Einheiten

Schritt 7

Die vertikale Verschiebung hängt vom Wert von

k

$k$ ab. Die vertikale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

f (x) = f (x) + k

$f (x) = f (x) + k$ - Der Graph ist um

k

$k$ Einheiten nach oben verschoben.

f (x) = f (x) - k

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down

k

$k$ units.

Vertikale Verschiebung:

1

$1$ Einheiten nach oben

Schritt 8

Das Vorzeichen von

a

$a$ beschreibt die Spiegelung an der x-Achse.

- a

$- a$ bedeutet, dass der Graph an der x-Achse gespiegelt wird.

Spiegelung an der x-Achse: Gespiegelt

Schritt 9

Der Wert von

a

$a$ beschreibt die vertikale Streckung oder Stauchung des Graphen.

a > 1

$a > 1$ ist eine vertikale Streckung (macht ihn schmaler)

0 < a < 1

$0 < a < 1$ ist eine vertikale Stauchung (macht ihn breiter)

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 10

Um die Transformation zu bestimmen, vergleiche die beiden Funktionen und überprüfe, ob es eine horizontale oder vertikale Verschiebung, eine Spiegelung an der x-Achse und eine vertikale Streckung gibt.

Mutterfunktion:

g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}

$g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Horizontale Verschiebung: Rechte

3

$3$ Einheiten

Vertikale Verschiebung:

1

$1$ Einheiten nach oben

Spiegelung an der x-Achse: Gespiegelt

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 11