Algebra Beispiele

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$

Schritt 1

Die Mutterfunktion ist die einfachste Form des gegebenen Funktionstypen.

$g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Schritt 2

Die Transformation von der ersten Gleichung zur zweiten kann bestimmt werden, indem $a$ , $h$ und $k$ für jede Gleichung gefunden wird.

$y = a b^{x - h} + k$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x + 2 \cdot - 3} + 1$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x - 6} + 1$

Schritt 3.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1$

Schritt 3.1.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + \frac{3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $3^{2 x - 6}$ als ${(3^{x - 3})}^{2}$ um.

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $4^{2 x - 6}$ als ${(4^{x - 3})}^{2}$ um.

$f (x) = \frac{- {(4^{x - 3})}^{2} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.2.3

Stelle $- {(4^{x - 3})}^{2}$ und ${(3^{x - 3})}^{2}$ um.

$f (x) = \frac{{(3^{x - 3})}^{2} - {(4^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 3.2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3^{x - 3}$ und $b = 4^{x - 3}$ .

$f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}$

Schritt 4

Ermittle $a$ , $h$ und $k$ für $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Schritt 5

Ermittle $a$ , $h$ und $k$ für $f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 1$

Schritt 6

Die horizontale Verschiebung hängt vom Wert von $h$ ab. Die horizontale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$f (x) = f (x + h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach links verschoben.

$f (x) = f (x - h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach rechts verschoben.

Horizontale Verschiebung: Rechte $3$ Einheiten

Schritt 7

Die vertikale Verschiebung hängt vom Wert von $k$ ab. Die vertikale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$f (x) = f (x) + k$ - Der Graph ist um $k$ Einheiten nach oben verschoben.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Vertikale Verschiebung: $1$ Einheiten nach oben

Schritt 8

Das Vorzeichen von $a$ beschreibt die Spiegelung an der x-Achse. $- a$ bedeutet, dass der Graph an der x-Achse gespiegelt wird.

Spiegelung an der x-Achse: Gespiegelt

Schritt 9

Der Wert von $a$ beschreibt die vertikale Streckung oder Stauchung des Graphen.

$a > 1$ ist eine vertikale Streckung (macht ihn schmaler)

$0 < a < 1$ ist eine vertikale Stauchung (macht ihn breiter)

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 10

Um die Transformation zu bestimmen, vergleiche die beiden Funktionen und überprüfe, ob es eine horizontale oder vertikale Verschiebung, eine Spiegelung an der x-Achse und eine vertikale Streckung gibt.

Mutterfunktion: $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Horizontale Verschiebung: Rechte $3$ Einheiten

Vertikale Verschiebung: $1$ Einheiten nach oben

Spiegelung an der x-Achse: Gespiegelt

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 11