Algebra Beispiele

$- w^{2} + 14 w - 24 > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- w^{2} + 14 w - 24 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- w^{2} + 14 w - 24$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- w^{2}$ heraus.

$- (w^{2}) + 14 w - 24 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $14 w$ heraus.

$- (w^{2}) - (- 14 w) - 24 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$- (w^{2}) - (- 14 w) - 1 \cdot 24 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (w^{2}) - (- 14 w)$ heraus.

$- (w^{2} - 14 w) - 1 \cdot 24 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (w^{2} - 14 w) - 1 (24)$ heraus.

$- (w^{2} - 14 w + 24) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $w^{2} - 14 w + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 12, - 2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((w - 12) (w - 2)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (w - 12) (w - 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$w - 12 = 0$

$w - 2 = 0$

Schritt 4

Setze $w - 12$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $w - 12$ gleich $0$ .

$w - 12 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$w = 12$

Schritt 5

Setze $w - 2$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $w - 2$ gleich $0$ .

$w - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$w = 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (w - 12) (w - 2) = 0$ wahr machen.

$w = 12, 2$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$w < 2$

$2 < w < 12$

$w > 12$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $w < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $w < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$w = 0$

Schritt 8.1.2

Ersetze $w$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(0)}^{2} + 14 (0) - 24 > 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 24$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < w < 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < w < 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$w = 7$

Schritt 8.2.2

Ersetze $w$ durch $7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(7)}^{2} + 14 (7) - 24 > 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $w > 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $w > 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$w = 14$

Schritt 8.3.2

Ersetze $w$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(14)}^{2} + 14 (14) - 24 > 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $- 24$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$w < 2$ Falsch

$2 < w < 12$ Wahr

$w > 12$ Falsch

$w < 2$ Falsch

$2 < w < 12$ Wahr

$w > 12$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < w < 12$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$2 < w < 12$

Intervallschreibweise:

$(2, 12)$

Schritt 11