Algebra Beispiele

$\log_{9} (4 x - 5) < \log_{9} (- 2 x + 1)$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{9} (4 x - 5) = \log_{9} (- 2 x + 1)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$4 x - 5 = - 2 x + 1$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 5 + 2 x = 1$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$6 x - 5 = 1$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 1 + 5$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $1$ und $5$ .

$6 x = 6$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 6$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 6$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $6$ durch $6$ .

$x = 1$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$4 x - 5 = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5$

Schritt 3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 3.2.5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{5}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{5}{4}, \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ .

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Schritt 3.2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 2 x + 1 = 0$

Schritt 3.2.8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.8.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 3.2.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.2.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.8.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 3.2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Schritt 3.2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (0) - 5}{- 2 \cdot 0 + 1} > 0$

Schritt 3.2.10.1.3

Die linke Seite $- 5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 3.2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (1) - 5}{- 2 \cdot 1 + 1} > 0$

Schritt 3.2.10.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (4) - 5}{- 2 \cdot 4 + 1} > 0$

Schritt 3.2.10.3.3

Die linke Seite $- 1.\overline{571428}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Wahr

$x > \frac{5}{4}$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Wahr

$x > \frac{5}{4}$ Falsch

Schritt 3.2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 2 x + 1 = 0$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$1 < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{9} (4 (0) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0 + 1)$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.75$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $0.75$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{9} (4 (0.75) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0.75 + 1)$

Schritt 5.2.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.2.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.2.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < \frac{5}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < \frac{5}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.12$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $1.12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{9} (4 (1.12) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 1.12 + 1)$

Schritt 5.3.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.3.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{9} (4 (4) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 4 + 1)$

Schritt 5.4.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.4.3.2

Die rechte Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 1$ Falsch

$1 < x < \frac{5}{4}$ Falsch

$x > \frac{5}{4}$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 1$ Falsch

$1 < x < \frac{5}{4}$ Falsch

$x > \frac{5}{4}$ Falsch

Schritt 6

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung