Algebra Beispiele

$\frac{5 y^{2}}{1 - y^{2}} \div (1 - \frac{1}{1 - y})$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{\frac{5 y^{2}}{1 - y^{2}}}{1 - \frac{1}{1 - y}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{5 y^{2}}{1 - y^{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - y}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{5 y^{2}}{1^{2} - y^{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - y}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - y}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{1 - y}{1 - y} - \frac{1}{1 - y}}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{1 - y - 1}{1 - y}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{- y + 1 - 1}{- y + 1}}$

Schritt 4.4

Schreibe $\frac{- y + 1 - 1}{- y + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{- y + 0}{- y + 1}}$

Schritt 4.4.2

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{- y}{- y + 1}}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{- \frac{y}{- y + 1}}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$\frac{5 y^{2} \cdot 1}{(1 + y) (1 - y) (- \frac{y}{- y + 1})}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{5 y^{2} \cdot (- 1 (- 1))}{(1 + y) (1 - y) (- \frac{y}{- y + 1})}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(5 y^{2}) \cdot - 1}{(1 + y) (1 - y) (- \frac{y}{- y + 1})}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y) (- \frac{y}{- y + 1})}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Entferne unnötige Klammern.

$- - \frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y) \cdot - 1 \frac{y}{- y + 1}}$

Schritt 6.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- - \frac{5 y^{2}}{- (1 + y) (1 - y) \frac{y}{- y + 1}}$

Schritt 7

Faktorisiere $\frac{y}{- y + 1}$ aus $\frac{5 y^{2}}{- (1 + y) (1 - y) \frac{y}{- y + 1}}$ heraus.

$- - (\frac{- y + 1}{y} \cdot \frac{5 y^{2}}{- (1 + y) (1 - y)})$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $y$ aus $5 y^{2}$ heraus.

$- - (\frac{- y + 1}{y} \cdot \frac{y (5 y)}{- (1 + y) (1 - y)})$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- - (\frac{- y + 1}{y} \cdot \frac{y (5 y)}{- (1 + y) (1 - y)})$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$- - ((- y + 1) \frac{5 y}{- (1 + y) (1 - y)})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - ((- y + 1) (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$- - (- y (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}) + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Schritt 11

Multipliziere $- y (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)})$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- - (1 y \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- - (y \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Schritt 11.3

Kombiniere $y$ und $\frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$- - (\frac{y (5 y)}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Schritt 11.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- - (\frac{5 (y^{1} y)}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Schritt 11.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- - (\frac{5 (y^{1} y^{1})}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Schritt 11.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- - (\frac{5 y^{1 + 1}}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Schritt 11.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- - (\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Schritt 12

Mutltipliziere $- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}$ mit $1$ .

$- - (\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} - \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)})$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- - \frac{5 y^{2} - 5 y}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 14

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y^{2} - 5 y$ heraus.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y^{2}$ heraus.

$- - \frac{5 y (y) - 5 y}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 14.2

Faktorisiere $5 y$ aus $- 5 y$ heraus.

$- - \frac{5 y (y) + 5 y (- 1)}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 14.3

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y (y) + 5 y (- 1)$ heraus.

$- - \frac{5 y (y - 1)}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y - 1$ und $1 - y$ .

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Schritt 15.1

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$- - \frac{5 y (- 1 (- y) - 1)}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 15.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- - \frac{5 y (- 1 (- y) - 1 (1))}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- y) - 1 (1)$ heraus.

$- - \frac{5 y (- 1 (- y + 1))}{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 15.4

Stelle die Terme um.

$- - \frac{5 y (- 1 (- y + 1))}{(1 + y) (- y + 1)}$

Schritt 15.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- - \frac{5 y (- 1 (- y + 1))}{(1 + y) (- y + 1)}$

Schritt 15.6

Forme den Ausdruck um.

$- - \frac{5 y \cdot (- 1)}{1 + y}$

Schritt 16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- - \frac{- 5 y}{1 + y}$

Schritt 16.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - - \frac{5 y}{1 + y}$

Schritt 17

Multipliziere $- - \frac{5 y}{1 + y}$ .

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- (1 \frac{5 y}{1 + y})$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $\frac{5 y}{1 + y}$ mit $1$ .

$- \frac{5 y}{1 + y}$