Algebra Beispiele

$2 \sqrt{3 x + 6} - 8 \leq 4$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{3 x + 6}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $8$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 \sqrt{3 x + 6} \leq 4 + 8$

Schritt 1.2

Addiere $4$ und $8$ .

$2 \sqrt{3 x + 6} \leq 12$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(2 \sqrt{3 x + 6})}^{2} \leq 12^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 6}$ als ${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 12^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(2 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 12^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 12^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 12^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 12^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(3 x + 6)}^{1} \leq 12^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$4 (3 x + 6) \leq 12^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x) + 4 \cdot 6 \leq 12^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x + 4 \cdot 6 \leq 12^{2}$

Schritt 3.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$12 x + 24 \leq 12^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$12 x + 24 \leq 144$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$12 x \leq 144 - 24$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $24$ von $144$ .

$12 x \leq 120$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $12 x \leq 120$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x \leq 120$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} \leq \frac{120}{12}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} \leq \frac{120}{12}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{120}{12}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $120$ durch $12$ .

$x \leq 10$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $2 \sqrt{3 (x + 2)} - 12$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 (x + 2)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 (x + 2) \geq 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 2) \geq 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 2) \geq 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Dividiere $x + 2$ durch $1$ .

$x + 2 \geq \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x + 2 \geq 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 2$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 2, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 10$

$x > 10$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \sqrt{3 (- 4) + 6} - 8 \leq 4$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 10$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 10$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \sqrt{3 (0) + 6} - 8 \leq 4$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 3.10102051$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 10$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 10$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \sqrt{3 (12) + 6} - 8 \leq 4$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $4.96148139$ ist größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 10$ Wahr

$x > 10$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 10$ Wahr

$x > 10$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 \leq x \leq 10$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 2 \leq x \leq 10$

Intervallschreibweise:

$[- 2, 10]$

Schritt 10