Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}) = 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(y - 1)}^{3}$ .

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 1)}^{3} = 2 x$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 1 = \sqrt[3]{2 x}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[3]{2 x} + 1$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})} + 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}} + 1$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und ${(x - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{{(x - 1)}^{3}}{1}} + 1$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere ${(x - 1)}^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} + 1$

Schritt 5.2.3.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{2 x} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {((\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1)}^{3}$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x} + 0)}^{3}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\sqrt[3]{2 x}$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {\sqrt[3]{2 x}}^{3}$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x}}^{3}$ als $2 x$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$