Algebra Beispiele

$25^{- 6 x - 69} = {(\frac{1}{5})}^{3 x^{2} + 3}$

Schritt 1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$25^{- 6 x - 69} = \frac{1^{3 x^{2} + 3}}{5^{3 x^{2} + 3}}$

Schritt 2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$25^{- 6 x - 69} = \frac{1}{5^{3 x^{2} + 3}}$

Schritt 3

Bringe $5^{3 x^{2} + 3}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$25^{- 6 x - 69} = 5^{- (3 x^{2} + 3)}$

Schritt 4

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{2 (- 6 x - 69)} = 5^{- (3 x^{2} + 3)}$

Schritt 5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 (- 6 x - 69) = - (3 x^{2} + 3)$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $2 (- 6 x - 69)$ .

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Schritt 6.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 2 (- 6 x - 69) = - (3 x^{2} + 3)$

Schritt 6.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 (- 6 x - 69) = - (3 x^{2} + 3)$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- 6 x) + 2 \cdot - 69 = - (3 x^{2} + 3)$

Schritt 6.1.4

Multipliziere.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$- 12 x + 2 \cdot - 69 = - (3 x^{2} + 3)$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 69$ .

$- 12 x - 138 = - (3 x^{2} + 3)$

Schritt 6.2

Vereinfache $- (3 x^{2} + 3)$ .

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12 x - 138 = - (3 x^{2}) - 1 \cdot 3$

Schritt 6.2.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 12 x - 138 = - 3 x^{2} - 1 \cdot 3$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 12 x - 138 = - 3 x^{2} - 3$

Schritt 6.3

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x - 138 + 3 x^{2} = - 3$

Schritt 6.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x - 138 + 3 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 6.5

Addiere $- 138$ und $3$ .

$- 12 x + 3 x^{2} - 135 = 0$

Schritt 6.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x + 3 x^{2} - 135$ heraus.

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Schritt 6.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x$ heraus.

$3 (- 4 x) + 3 x^{2} - 135 = 0$

Schritt 6.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (- 4 x) + 3 (x^{2}) - 135 = 0$

Schritt 6.6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 135$ heraus.

$3 (- 4 x) + 3 x^{2} + 3 \cdot - 45 = 0$

Schritt 6.6.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 4 x) + 3 x^{2}$ heraus.

$3 (- 4 x + x^{2}) + 3 \cdot - 45 = 0$

Schritt 6.6.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 4 x + x^{2}) + 3 \cdot - 45$ heraus.

$3 (- 4 x + x^{2} - 45) = 0$

Schritt 6.6.2

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$3 (- 4 u + u^{2} - 45) = 0$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $- 4 u + u^{2} - 45$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.6.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 45$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 9, 5$

Schritt 6.6.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((u - 9) (u + 5)) = 0$

Schritt 6.6.4

Faktorisiere.

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Schritt 6.6.4.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$3 ((x - 9) (x + 5)) = 0$

Schritt 6.6.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 9) (x + 5) = 0$

Schritt 6.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 6.8

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 6.8.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 6.9

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.9.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 6.9.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 9) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 9, - 5$