Algebra Beispiele

$\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 2) (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$\log (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Schritt 1.3.1.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Schritt 1.3.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log (x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 1 - \log (2)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log (x^{2} - 4) + \log (2) = 1$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x^{2} - 4) \cdot 2) = 1$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x^{2} \cdot 2 - 4 \cdot 2) = 1$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\log (2 \cdot x^{2} - 4 \cdot 2) = 1$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\log (2 x^{2} - 8) = 1$

Schritt 6

Schreibe $\log (2 x^{2} - 8) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} - 8$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - 8 = 10^{1}$ um.

$2 x^{2} - 8 = 10$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 10 + 8$

Schritt 7.2.2

Addiere $10$ und $8$ .

$2 x^{2} = 18$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 18$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 18$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{18}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Dividiere $18$ durch $2$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 7.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 7.5

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 7.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 7.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 7.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 7.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 7.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$ nicht erfüllen.

$x = 3$