Algebra Beispiele

$f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ als Gleichung.

$y = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}} = x$ um.

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 y + 1)}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$3 y + 1 = x^{3}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x^{3} - 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{3} - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{3} - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{(3 x + 1) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} - 1 + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$