Algebra Beispiele

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) (\frac{3 x}{x^{2} + 6 x + 9})$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{3}{x} - \frac{x}{3}$ mit $\frac{3 x}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) (3 x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Um $\frac{3}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(\frac{3}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Um $- \frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{3}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{x \cdot x}{3 x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 3$ um.

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{3 x} - \frac{x \cdot x}{3 x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 \cdot 3 - x \cdot x}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{9 - x \cdot x}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{9 - (x \cdot x)}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{9 - x^{2}}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Schreibe $9 - x^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.5.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\frac{3^{2} - x^{2}}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 x}$ und $3$ .

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3}{3 x} x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3}{3 x}$ und $x$ .

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) x}{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) x}{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Dividiere $(3 + x) (3 - x)$ durch $1$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.9

Multipliziere $(3 + x) (3 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 - x) + x (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + x (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{9 - 3 x + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{9 - 3 x + 3 \cdot x + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{9 - 3 x + 3 x - x \cdot x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{9 - 3 x + 3 x - (x \cdot x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{9 - 3 x + 3 x - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{9 + 0 - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10.3

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{9 - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 + x$ und ${(x + 3)}^{2}$ .

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x + 3$ aus ${(x + 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{(x + 3) (x + 3)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{(x + 3) (x + 3)}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - x}{x + 3}$