Algebra Beispiele

$\sqrt{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ als ${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{1} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 4 x + 4 > 0^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 > 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$x > 2$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Schritt 5.1.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4} > 0$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Wahr

$x > 2$ Wahr

$x < 2$ Wahr

$x > 2$ Wahr

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 2$ oder $x > 2$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < 2 or x > 2$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 8