Algebra Beispiele

$y = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$ um.

$2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$2 (x^{4}) + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) - 8 x - 6 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) - 6 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 x^{4} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 2 (4 x^{3})$ heraus.

$2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2})$ heraus.

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.8

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ heraus.

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3$ heraus.

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Gruppiere die Terme um.

$2 (4 x^{3} - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.3.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 (4 x (x^{2}) - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$2 (4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.3.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ heraus.

$2 (4 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 (4 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$2 (4 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 2 u - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.8

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 1.2.2.8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.10

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.11

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.12

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ heraus.

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Schritt 1.2.2.12.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $4 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.12.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ heraus.

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x + x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.13

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 u + u^{2} + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.14

Faktorisiere $4 u + u^{2} + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.14.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 1.2.2.14.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x + 1) (x - 1) ((u + 1) (u + 3))) = 0$

Schritt 1.2.2.15

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.15.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x + 3))) = 0$

Schritt 1.2.2.15.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 ((x + 1) (x - 1) (x + 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.16

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.16.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.2.2.16.1.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.16.1.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.16.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 ({(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.16.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 ({(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.16.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, - 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.5.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 8 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.5.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.5.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Schritt 2.2.5.1.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 - 6$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 6$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 - 6$

Schritt 2.2.5.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 6$

Schritt 2.2.5.2.4

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$y = - 6$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 6)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 6)$

Schritt 4