Algebra Beispiele

$2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $| x - 1 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 | x - 1 | + 2 x + 7 = x^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 | x - 1 | + 7 = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.3

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $| x - 1 |$ durch $1$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- x}{1} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 1 = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

Schritt 4.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} = x - 1$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} - x = - 1$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$

Schritt 4.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 4 x - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{2}$ in den Zähler.

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 4 x - 7 = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 4 x - 7 = - 2$

Schritt 4.5

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x - 7 + 2 = 0$

Schritt 4.6

Addiere $- 7$ und $2$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Schritt 4.7

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 4.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Schritt 4.8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4.9

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.9.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.9.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.10

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.10.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.10.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 1$

Schritt 4.12

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 1 = - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

Schritt 4.13

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Schritt 4.14

Vereinfache $- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$ .

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Schritt 4.14.1

Forme um.

$0 + 0 - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Schritt 4.14.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Schritt 4.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x^{2}}{2} - - x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Schritt 4.14.4

Vereinfache.

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Schritt 4.14.4.1

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.14.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 1 x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Schritt 4.14.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Schritt 4.14.4.2

Multipliziere $- - \frac{7}{2}$ .

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Schritt 4.14.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + 1 (\frac{7}{2}) = x - 1$

Schritt 4.14.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} = x - 1$

Schritt 4.15

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.15.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x = - 1$

Schritt 4.15.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x$ .

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Schritt 4.15.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 0 + \frac{7}{2} = - 1$

Schritt 4.15.2.2

Addiere $- \frac{x^{2}}{2}$ und $0$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2} = - 1$

Schritt 4.16

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.16.1

Subtrahiere $\frac{7}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 - \frac{7}{2}$

Schritt 4.16.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2}$

Schritt 4.16.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2}$

Schritt 4.16.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2}$

Schritt 4.16.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.16.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 2 - 7}{2}$

Schritt 4.16.5.2

Subtrahiere $7$ von $- 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 4.16.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{2} = - \frac{9}{2}$

Schritt 4.17

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- x^{2} = - 9$

Schritt 4.18

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.18.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.18.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.18.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.18.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.18.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.18.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 4.19

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 4.20

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 4.20.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.20.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 4.21

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.21.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 4.21.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 4.21.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 4.22

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 1, 3, - 3$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$ nicht erfüllen.

$x = 5, - 3$