Algebra Beispiele

$\tan^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Schreibe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$ als ${(\frac{\sin (x)}{\cot (x)})}^{2}$ um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cot (x)})}^{2}$

Schritt 1.4

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})}^{2}$

Schritt 1.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 1.6

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 1.8.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 1.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{{(\sin^{2} (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10

Multipliziere die Exponenten in ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 1.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 2

Schreibe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$(\tan (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.1.3

Separiere Brüche.

$(\tan (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.1.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\tan (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.1.5

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.2.3

Separiere Brüche.

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Schritt 5.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

Schritt 5.2.5

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

Schritt 6

Multipliziere $(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ .

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Schritt 7.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ und $\sin (x) \tan (x) \tan (x)$ neu an.

$\tan (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 7.1.2

Addiere $- \sin (x) \tan (x) \tan (x)$ und $\sin (x) \tan (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 7.1.3

Addiere $\tan (x) \tan (x)$ und $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 7.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 7.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 7.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\tan^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

Schritt 7.2.3

Multipliziere $- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

Schritt 7.2.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

Schritt 7.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

Schritt 7.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

Schritt 7.2.4

Multipliziere $- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 7.2.4.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Schritt 7.2.4.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Schritt 7.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

Schritt 7.2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus $\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus $- \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$ heraus.

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\tan^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x))$

Schritt 8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 9

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \cos^{2} (x)$

Schritt 10

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 11.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (x)$