Algebra Beispiele

$\frac{\frac{x^{2} + x - 12}{x - 2}}{\frac{3 x^{2} + 11 x - 4}{x^{2} - 4}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{2} + x - 12}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{3 x^{2} + 11 x - 4}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{3 x^{2} + 11 x - 4}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x^{2} + 11 x - 4}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} + 11 x - 4}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} + 11 (x) - 4}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $11$ um als $- 1$ plus $12$

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} + (- 1 + 12) x - 4}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} - 1 x + 12 x - 4}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(3 x^{2} - 1 x) + 12 x - 4}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x (3 x - 1) + 4 (3 x - 1)}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(3 x - 1) (x + 4)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x - 3) (x + 4)$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(3 x - 1) (x + 4)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x + 4$ aus $(3 x - 1) (x + 4)$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 4) (3 x - 1)}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 4) (3 x - 1)}$

Schritt 5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x - 1}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x + 2) (x - 2)$ heraus.

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{3 x - 1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{3 x - 1}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$(x - 3) \frac{x + 2}{3 x - 1}$

Schritt 7

Mutltipliziere $x - 3$ mit $\frac{x + 2}{3 x - 1}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{3 x - 1}$