Algebra Beispiele

$\sqrt{x + 2} + 1 = \sqrt{3 - x}$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 2} = \sqrt{3 - x} - 1$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 2}}^{2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 2 = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$ als $(\sqrt{3 - x} - 1) (\sqrt{3 - x} - 1)$ um.

$x + 2 = (\sqrt{3 - x} - 1) (\sqrt{3 - x} - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{3 - x} - 1) (\sqrt{3 - x} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = \sqrt{3 - x} (\sqrt{3 - x} - 1) - 1 (\sqrt{3 - x} - 1)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = \sqrt{3 - x} \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{3 - x} - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = \sqrt{3 - x} \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{3 - x} \sqrt{3 - x}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{3 - x}$ mit $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{1} \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3 - x}$ mit $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{1} {\sqrt{3 - x}}^{1} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{2} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3 - x}}^{2}$ als $3 - x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - x}$ als ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 2 = {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 2 = {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 2 = {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 2 = {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 2 = {(3 - x)}^{1} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$x + 2 = 3 - x + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 3 - x - 1 \cdot \sqrt{3 - x} - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \sqrt{3 - x}$ als $- \sqrt{3 - x}$ um.

$x + 2 = 3 - x - \sqrt{3 - x} - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \sqrt{3 - x}$ als $- \sqrt{3 - x}$ um.

$x + 2 = 3 - x - \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 2 = 3 - x - \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x + 2 = 4 - x - \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x}$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $\sqrt{3 - x}$ von $- \sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 4 - x - 2 \sqrt{3 - x}$

Schritt 4

Löse nach $- 2 \sqrt{3 - x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 - x - 2 \sqrt{3 - x} = x + 2$ um.

$4 - x - 2 \sqrt{3 - x} = x + 2$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 2 \sqrt{3 - x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x - 2 \sqrt{3 - x} = x + 2 - 4$

Schritt 4.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sqrt{3 - x} = x + 2 - 4 + x$

Schritt 4.2.3

Addiere $x$ und $x$ .

$- 2 \sqrt{3 - x} = 2 x + 2 - 4$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$- 2 \sqrt{3 - x} = 2 x - 2$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 2 \sqrt{3 - x})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - x}$ als ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 2)}^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$4 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(3 - x)}^{1} = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$4 (3 - x) = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 3 + 4 (- x) = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 + 4 (- x) = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$12 - 4 x = {(2 x - 2)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(2 x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(2 x - 2)}^{2}$ als $(2 x - 2) (2 x - 2)$ um.

$12 - 4 x = (2 x - 2) (2 x - 2)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(2 x - 2) (2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 - 4 x = 2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$12 - 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 - 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 - 4 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$12 - 4 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$12 - 4 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 8 x + 4$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 8 x + 4 = 12 - 4 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 8 x + 4 + 4 x = 12$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 8 x$ und $4 x$ .

$4 x^{2} - 4 x + 4 = 12$

Schritt 7.3

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 4 x + 4 - 12 = 0$

Schritt 7.4

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$4 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 4 x - 8$ heraus.

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Schritt 7.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Schritt 7.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (- x) - 8 = 0$

Schritt 7.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (- x) + 4 (- 2) = 0$

Schritt 7.5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- x)$ heraus.

$4 (x^{2} - x) + 4 (- 2) = 0$

Schritt 7.5.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - x) + 4 (- 2)$ heraus.

$4 (x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 7.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 7.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 7.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 7.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7.8

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x + 2} + 1 = \sqrt{3 - x}$ nicht erfüllen.

$x = - 1$